5. Еліптична, або ріманова, геометрія [1967 Курант Р., Роббінс Г.
5. Еліптична, або ріманова, геометрія
В геометрії Евкліда, як і в гіперболічної геометрії бойан - Лобачевського, мовчазно допускається, що будь-яка пряма нескінченна (нескінченність прямої істотно пов'язана зі ставленням "бути між" і аксіомами порядку). Але після того як гіперболічна геометрія відкрила шлях до вільного побудови геометрії, природно виникло питання про те, чи не можна здійснити побудову таких неевклідових геометрій, в яких прямі лінії кінцеві і замкнуті. Зрозуміло, в таких геометрії втрачають силу не тільки постулат про паралельних, але і аксіоми порядку. Сучасні дослідження з'ясували значення цих геометрій для новітніх фізичних теорій. Вперше такі геометрії були піддані розгляду в промові, яку він виголосив в 1851 р Ріманом при вступі його на посаду приват-доцента Геттінгенського університету. Геометрії з замкнутими кінцевими прямими можуть бути побудовані без яких би то не було протиріч Уявімо двовимірний світ, що складається з поверхні S сфери, причому під "прямими" домовимося розуміти великі кола сфери. Це був би найприродніший спосіб описувати "світ" мореплавця: дуги великих кіл є найкоротшими кривими, що зв'язують дві точки на сфері, а це якраз і є характеристичне властивість прямих на площині. В даному двовимірному світі всякі дві "прямі" перетинаються, так що з зовнішньої точки можна провести жодної "прямий", які не перетинаються з даною (т. Е. Їй паралельній). Геометрія "прямих" в цьому світі називається еліптичної геометрією. Відстань між двома точками в такій геометрії вимірюється просто як довжина найкоротшої дуги великого кола, що проходить через дані точки. Кути вимірюються так само, як і в геометрії Евкліда. Найхарактернішим властивістю еліптичної геометрії ми вважаємо неіснування паралельних.
Дотримуючись Ріманом, ми можемо узагальнити цю геометрію наступним чином. Розглянемо "світ", що складається з деякої кривої поверхні в просторі (не обов'язково сфери) і визначимо "пряму лінію", що проходить через дві точки, як найкоротшу криву ( "геодезичну"), яка з'єднує ці точки. Точки поверхні можна розбити на два класи: 1 °. Точки, в околиці яких поверхню подібна сфері в тому відношенні, що вона вся лежить по одну сторону від дотичної площини в цій точці. 2 °. Точки, в околиці яких поверхню седлообразно (лежить по обидва боки дотичній площині). Точки першого класу називаються еліптичними точками поверхні - з тієї причини, що при невеликому паралельному переміщенні дотичній площині вона перетне поверхню по кривій, що має вигляд еліпса; точки ж другого класу звуться гіперболічних, так як при аналогічному переміщенні дотичній площині виходить перетин з поверхнею, що нагадує гіперболу. Геометрія геодезичних "прямих" в околиці точки поверхні є еліптичної або гіперболічної, залежно від того, чи буде сама точка еліптичної або гіперболічної. На цій моделі неевклідової геометрії кути вимірюються, як у звичайній геометрії Евкліда.
Викладена ідея була розвинена Ріманом далі: він розглянув геометрії простору, аналогічні щойно розібраним Геометриям поверхні. За Ріманом, "кривизна" простору, змінюючись від точки до точки, визначає характер геометрії в околиці точки. "Прямі лінії" у Рімана - геодезичні криві. У ейнштейновой загальної теорії відносності геометрія простору є ріманова геометрія; світло поширюється по геодезичним лініях, а кривизна простору в кожній точці визначається в залежності від властивостей матерії в околиці точки.
Виникнувши з чисто аксіоматичних досліджень, неевклидова геометрія в наші дні стала надзвичайно корисним апаратом, що допускає різні застосування при вивченні фізичної реальності. У теорії відносності, в оптиці, в загальній теорії коливань неевклидова опис явищ виявляється в ряді випадків набагато більш адекватним фізичної реальності, ніж евклидово.
