Яків Перельман - Веселі завдання. Дві сотні головоломок

Яків Ісидорович Перельман

веселі завдання

Передмова автора

Мета цієї книжечки - дати матеріал для приємною розумової гімнастики, для тренування кмітливості і винахідливості. Призначена поповнити дозвілля юних математиків, книжка містить, проте, не тільки математичні головоломки: поряд із завданнями арифметичними і геометричними, в збірнику представлені головоломки з області фізики, міроведенія і логіки. Є тут і завдання, що не примикають до жодного навчального предмета, але все ж корисні як вправи, що готують розум до більш серйозної роботи. Так, завдання на перестановки і розміщення привчають систематичні пошуки рішення, зорові обмани сприяють розвитку спостережливості, розваги з разрезиваніем фігур і складанням силуетів розвивають геометричне уяву.

Російською мовою вже є збірники подібного типу. Поява ще одного було б зайвим, якби укладач не прагнув освіжити традиційний матеріал кількома десятками частиною нових, придуманих їм самим, частиною маловідомих завдань, почерпнутих з іноземних джерел. Завдання припускають у читача лише елементарні пізнання і призначені переважно тим, кому ще належить вивчати математику.

Друге видання цієї книги, що вийшло в 1919-1920 рр. в досить великій кількості екземплярів, було передруковано з першого без істотних змін.

Для третього видання текст заново відредагований і деякі завдання з різних міркувань замінені іншими.

Жовтень, 1924

Перша сотня головоломок

Головоломні розміщення і цікаві перестановки

1. Білки і кролики

Перед вами вісім перенумерованих пнів (рис. 1). На пнях 1 і 3 сидять кролики, на пнях 6 і 8 - білки. І білки, і кролики чомусь незадоволені своїми місцями і хочуть обмінятися пнями: білки бажають сидіти на місцях кроликів, а кролики - на місцях білок. Потрапити на нове місце вони можуть, стрибаючи з пня на пень за такими правилами:

1) стрибати з пня на пень можна тільки по тих лініях, які показані на малюнку; кожен звір може робити кілька стрибків підряд;

2) два звірка на одному пні поміститися не можуть, тому стрибати можна тільки на вільний пень. Майте також на увазі, що звірята бажають обмінятися місцями за найменше число стрибків. Втім, менше ніж 16 стрибками їм не обійтися.

Як же вони це зроблять?

Мал. 1. На галявинці.

2. Чайний сервіз

Мені довелося якось цілий вечір чекати поїзд на маленькій станції. Не було ні книг, ні газет, ні співрозмовників, і я не знав, чим наповнити години чекання. На щастя, я згадав про одну цікавої задачі, яка незадовго до того попалася мені в іноземному журналі. Завдання полягало в наступному.

Мал. 2. Стіл, накритий до чаю.

Стіл розграфлена на 6 квадратів, в кожному з яких, крім одного, поміщається який-небудь предмет. Я скористався чайним посудом і розмістив по квадратах чашки, чайник і молочник, як показано на рис. 2.

Суть завдання в тому, щоб поміняти місцями чайник і молочник, пересуваючи предмети з одного квадрата в інший за певними правилами, а саме:

1) предмет переміщати тільки в той квадрат, який виявиться вільним;

2) не можна пересувати предмети по діагоналі квадрата;

3) не можна переносити один предмет поверх іншого;

4) не можна також поміщати в квадрат більше одного предмета, навіть тимчасово.

Це завдання має багато рішень, але цікаво знайти найкоротший, т. Е. Обміняти місцями чайник і молочник за найменше число ходів.

У пошуках рішення непомітно пройшов вечір; я залишав станцію, так і не знайшовши найкоротшого рішення.

Може бути, читачі знайдуть його? Про всяк випадок попереджаю, що шукане найменше число ходів все ж більше дюжини, хоча і менше півтора дюжин.

3. Автомобільний гараж

На нашому кресленні зображений план автомобільного гаража з приміщеннями для дванадцяти автомобілів. Але приміщення так незручно, так мало, що у завідувача гаражем постійно виникають труднощі. Ось одне з них. Припустимо, що вісім автомобілів стоять так, як показано на рис. 3. Автомобілі 1,2, 3 і 4 необхідно поміняти місцями з автомобілями 5, 6, 7 і 8.

Мал. 3. В гаражі.

Як це зробити за найменше число переїздів?

Треба зауважити, що два автомобіля рухатися одночасно не можуть і що в кожному відсіку гаража поміщається тільки один автомобіль.

4. Три дороги

Три брати - Петро, ​​Павло і Яків - отримали неподалік від їхніх будинків три ділянки землі, розташовані поруч. Кожен влаштував на своїй ділянці город. Як видно з рис. 4, будинку Петра, Павла і Якова та відведені братам земельні ділянки розташовані не зовсім зручно. Але брати не могли домовитися про обмін. А так як найкоротші шляхи до городів перетиналися, то між ними незабаром почалися зіткнення, що перейшли в сварки. Бажаючи припинити чвари, брати вирішили відшукати такі шляхи до своїх ділянках, щоб не перетинати один одному дороги. Після довгих пошуків вони знайшли такі три шляхи і тепер щодня ходять на свої городи, не зустрічаючись одне з одним.

Мал. 4. Три будинки - три ділянки.

Чи можете ви вказати ці шляхи?

5. Муха на завіски

На віконної завіски з малюнком в клітку сіли 9 мух. Випадково вони розташувалися так, що ніякі дві мухи не виявилися в одному і тому ж ряду - ні прямому, ні косому (рис. 5).

Мал. 5. Мухи на завіски.

Через кілька хвилин три мухи змінили місця і переповзли в сусідні, незайняті клітини; решта 6 не рухалися. Але забавно: хоча три мухи перейшли на інші місця, всі 9 знову виявилися розміщеними так, що ніяка пара не перебувала в одному прямому або косому ряду. Чи можете ви сказати, які три мухи і куди переселили?

6. Дачники та корови

Навколо озера розташовані чотири дачі, а майже прямо на березі - чотири корівника. Власники дач хочуть спорудити суцільний паркан так, щоб озеро було закрито від корів, але в той же час є для дачників, які люблять купатися (рис. 6).

Мал. 6. Дачники та корови.

Здійсненно їх бажання? Якщо здійсненно, то як потрібно побудувати паркан, щоб він мав найменшу довжину і, отже, обійшовся можливо дешевше?

7. Десять будинків

Хтось хотів побудувати 10 будинків, з'єднаних між собою міцними стінами. Стіни повинні тягнутися п'ятьма прямими лініями, з чотирма будинками на кожній. Запрошений архітектор представив план, який ви бачите тут на рис. 7.

Мал. 7. Вдома і стіни.

Цим планом замовник залишився незадоволений: адже при такому розташуванні можна підійти вільно до будь-якого дому, а йому хотілося, щоб якщо не все, то хоч один або два будинки були захищені стінами від нападу ззовні. Архітектор уявив, що не можна задовольнити цій умові, раз 10 будинків повинні бути розташовані по 4 на кожній з п'яти ліній. Але замовник наполягав на своєму. Довго ламав архітектор голову над цим завданням і, нарешті, вирішив її.

Може бути, і вам пощастить знайти таке розташування 10 будинків і 5 з'єднують їх прямих стін, щоб необхідну умову було виконано.

8. Дерева в саду

В саду росло 49 дерев, і ви можете бачити на рис. 8, як вони були розташовані. Садівник знайшов, що дерев занадто багато; він бажав розчистити сад від зайвих дерев, щоб зручніше було розбити квітники. Покликавши працівника, він дав йому таке розпорядження:

- Залиш тільки 5 рядів дерев, по 4 в кожному ряду. Решта зрубай і візьми собі на дрова.

Коли рубка скінчилася, садівник вийшов подивитися роботу. До його жаль, сад був майже спустошений: замість 20 дерев працівник залишив тільки 10, зрубів 39 дерев!

- Чому ти вирубав так багато? Адже тобі сказано було залишити 20 дерев, - дорікав його садівник.

- Ні, не 20, мені сказано було залишити 5 рядів по 4 дерева в кожному. Я так і зробив - подивіться.

Мал. 8. Сад до вирубки дерев.

І справді, садівник з подивом переконався, що залишилися на корені 10 дерев утворюють 5 рядів по 4 дерева в кожному. Наказ його було виконано буквально, але замість 29 дерев працівник вирубав 39. Як він примудрився це зробити?

9. Біла миша

Всі 13 мишей, що оточують кішку (рис. 9), приречені потрапити їй на обід. Але кішка бажає з'їсти їх в певному порядку: кожен раз вона відраховує по колу, в тому напрямку, в якому миші дивляться, 13-ту, і з'їдає її.

З якою миші вона повинна почати, щоб біла виявилася з'їденої останньої?

Мал. 9. Кішка і мишки.

10. З 18 сірників

З 18 сірників неважко скласти два чотирикутника так, щоб один був удвічі більше іншого по площі (рис. 10).

Мал. 10. Сірникова геометрія.

Але складіть з тих же сірників два таких чотирикутника, щоб один був в три рази більше іншого по площі!

Рішення задач 1-10

Кінець ознайомчого уривка

СПОДОБАЛАСЯ КНИГА?