Артефакт з давнього Вавилона містить більш точну тригонометричну таблицю, ніж у сучасних математиків
Вчені з Університету Нового Південного Уельсу (Сідней) встановили справжнє призначення 3700-річної вавілонської глиняній таблички, яка виявилася найдавнішою і найточнішою серед стародавніх тригонометричної таблицею в світі.
Вона майже на тисячу років старше «таблиці хорд» Гиппарха і використовує оригінальний підхід до тригонометрії, заснований на точних шестидесятеричной відносинах сторін прямокутних трикутників, а не на кутах і дугах кола. Стаття опублікована в ScienceDirect.
Вважається, що Гіппарх (190-120 до нашої ери) був першим математиком, який склав тригонометричну таблицю і використовував її в астрономічних розрахунках. Строго кажучи, це таблиця довжин хорд для окружності довжиною в 21600 і радіусом в 3438 одиниць, всього були розраховані значення для 24 кутів з кроком в 7,5 градусів. Надалі Птолемей (100-170 роках) удосконалив таблицю, обчисливши довжини хорд з кроком в ½ градуса і вказавши інтерполяційні методи, за допомогою яких можна було знайти значення для проміжних кутів.
Також в XV столітті індійський астроном Мадхава з Сангамаграми незалежно склав тригонометричну таблицю, користуючись знайденим їм розкладанням синуса в степеневий ряд. Винахід тригонометрії зіграло велику роль в науці, оскільки дозволило астрономам розробляти кількісні моделі і робити чисельні передбачення.
У той же час, геометрія стародавнього Вавилона розвивалася виходячи з практичних потреб адміністраторів, землемірів і будівельників. З їх вимірювань полів, стін, стовпів, будівель, садів і каналів зросла розуміння фундаментальних типів практичних фігур - квадратів, прямокутників, трапецій і прямокутних трикутників. Довільним трикутниках приділялося мало уваги, і з поняттям кута в Вавилоні знайомі були погано.
Звідси випливає заснований на вимірюванні відносин сторін фігур підхід до геометрії. Вавилонські математики були знайомі з поняттям подоби і теоремою Піфагора (відомий голландськи математик ХХ століття Ван дер Варден вважає, що вавилоняни відкрили її між 2000 і 1786 роками до нашої ери).
Для обчислень вони використовували позиційну шістдесяткова систему числення і безліч таблиць, за допомогою яких перемножуємо числа, зводили їх в ступінь, знаходили зворотне, квадратний і кубічний корінь і навіть двійковий логарифм числа.
Відома як Плимптон 322 (P322), маленька глиняна табличка розміром 12,7 см на 8,8 см (приблизно як паспорт) була виявлена на початку 1900-х років в південному Іраку археологом, академіком, дипломатом і торговцем антикваріатом Едгаром Бенксі. Порівнюючи стиль письма з іншими древневавилонского текстами, Елеанор Робсон датувала її між 1822 і одна тисяча сімсот шістьдесят дві роками до нашої ери. Табличка має чотири стовпці і 15 рядків чисел, написаних клинописом, але її лівий край відламаний.
У четвертому стовпці виписані номери рядків, у другому і третьому містяться два з трьох чисел Піфагора трійки. У першому стовпці записані значення, відповідні зворотному квадрату синуса кута при основі трикутника, які співвідносяться з даної Піфагора трійкою.
Грунтуючись на попередніх дослідженнях, вчені представили нові математичні докази того, що спочатку в P322 було шість стовпців і 38 рядків, а сама таблиця використовувалася для обчислення невідомої сторони прямокутного трикутника по двом відомим, тобто як тригонометрическая. Порівнюючи числа з різних стовпців, дослідники прийшли до висновку, що в відсутніх двох стовпці містять значення β і δ, які в сучасних позначеннях рівні Котангенс і косеканс кута при підставі прямокутного трикутника відповідно.
Дані були розраховані для піфагорових трійок, що визначають різні кути. Цікаво, що укладачі P322 вибирали такі трикутники, щоб все відносини записувалися кінцевої послідовністю цифр в Шістдесяткова системі числення.
Іншими словами, все значення, представлені в таблиці, абсолютно точні, і це відрізняє P322 від інших тригонометричних таблиць. Правда, вавилоняни припустилися кількох помилок при розрахунку значень або їх переписуванні, але це помилки виконавчі, а не ідейні.
Дослідники не першими припускають у своїй роботі, що відсутній фрагмент таблиці містить значення β і δ, але істотно нової є ідея про те, що вміст P322 слід розглядати як опис третього відносини β / δ (або δ / β).
Через прихильності вавилонян до точності воно було замінено трьома колонками, щоб обійтися без наближень. Квадрати в першій колонці - це індекси, які вказують на зменшення кута при основі трикутника, а значення з третьої і четвертої рівні β і δ з відкинутим загальним множником і потрібні для спрощення обчислень.
Раніше вважалося, що P322 допомагала вчителю перевіряти рішення квадратних рівнянь, які задавалися студентам - наприклад, знайти таке x, що (x - 1 / x) = 7. Однак ця таблиця могла також служити потужним інструментом для виконання точних архітектурних розрахунків або розмітки полів.
Як показав американський математик, володар премії Тьюринга Дональд Кнут, вавилоняни вміли інтерполювати з таблиці проміжні значення, але навіть без інтерполяції вона дає кращі результати обчислень, ніж деякі більш пізні таблиці.
Наприклад, в даній статті автори порівняли таблицю Мадхава і P322, яка майже на 3000 років древнє, вирішивши з їх допомогою декількох завдань на трикутники. У всіх випадках відповіді, отримані за допомогою вавилонської таблиці, були ближче до істинного значення.
P322 історично значима тому, що є не тільки найдавнішої, але також і єдиною абсолютно точної геодезичної таблицею. Ірраціональні числа і їх наближення здаються нам необхідними в класичній геометрії, але P322 показує, що в тригонометрії можна обійтися без них.
Як зауважують автори роботи, якби історія склалася по-іншому і глибоке математичне розуміння упорядника таблички не було втрачено, цілком можливо, що заснована на відносинах тригонометрія розвинулася б замість звичної нам науки, що оперує з кутами.
Раніше ми писали, що у вавилонських клинописних табличках знайшли початку матаналізу, за допомогою яких стародавні астрономи розраховували рух Юпітера.
Дмитро Трунин