Бєляєв-сан

У 1937 році в журналі «Математика в школі» №5 і №6 була опублікована велика стаття Фурсенко про побудову трикутника за трьома елеменов. У цій статті Фурсенко розташував всі завдання на побудову трикутника в лексикографічному порядку, вирішив всі завдання, які мають рішення і перерахував всі завдання, які рішення не мають.

У педагогічній практиці відомі завдання на відновлення трикутника за трьома заданим точкам. У 1982 році Верник так само, як і Фурсенко в 1937-му, склав лексігографіческій список завдань на відновлення трикутника. Їм були обрані найпопулярніші точки геометрії трикутника:

, , , - вершини трикутника і центр описаної окруж-
ності;
, , , - середини сторін трикутника і центр мас;
, , , - підстави висот трикутника і Ортоцентр;
, , , - підстави биссектрис трикутника і центр
вписаного кола.

(Зауважу в дужках, що мені ближче інші позначення, але ці збігаються з наведених нижче на зображенні.)

Після чого він склав список, який називається список Верника, в якому з 139 принципово різних завдань лексикографічного списку мають рішення трохи більше половини - 72 завдання. Цікаво, що сам Верник, не дослідив завдання на нерозв'язність, а знайшов рішення тільки 65 завдань (наприклад, у нього немає рішення красивою завдання №43). Розшифровка позначок в цьому списку така:

1. S - задача має рішення.
2. U - завдання не має рішення (доведена не Верником, а послідовниками і, як правило, за допомогою барицентричних координат).
3. L - (locus dependent) дані точки не можуть розташовуватися як завгодно, а лежать на деякому ГМТ.
4. R - (redundant) «зводиться» завдання: полоденіе однією з точок визначається двома іншими.

Ось сам список (він взятий з статті Устинова ):

Мене, як вчителя, не цікавлять завдання цього списку, які не мають рішення. Мені цікаві тільки ті завдання, про які відомо, що у них рішення є. Як було зазначено вище, таких 72 штуки. На сьогоднішній день мені не піддаються три завдання цього списку:

1. №57: ,
2. №82: ,
3. №131: .

Буду дуже вдячний всім, хто знає як вирішити ці завдання. Зрозуміло, мається на увазі і цікаві тільки синтетичні (чисто геометричні) рішення - чисті докази існування, наприклад, в барицентричних координатах - не пропонувати. Дослідження на кількість рішень не цікавить - важливо отримати хоча б одне.

Я дуже вдячний Григорію Борисовичу Філліповскому за те, що він познайомив мене з цими завданнями і навчив вирішувати задачу №43 списку Верника. Окреме спасибі Володимиру Черноруцкому, який вніс свіжу думку, до якої мені було важко здогадатися, що привело до вирішення декількох завдань.

Додаток.

Ось як виглядав список Верника в його оригінальній статті
Wernick, W. «Triangle Constructions with Three Located Points. »Math. Mag. 55, 227-230, 1982.

Сама стаття доступна для читання on-line після реєстрації на сайті http://www.jstor.org/ .