Цікаво про космології

Дивовижні простору Георга Фрідріха Бернгарда Рімана

Але продовжимо історію конструювання нових світів, розпочату нашим великим співвітчизником.

Восени 1853 року на математичний факультет Геттінгенського університету нікому не відомий доктор наук Ріман подав конкурсну роботу на здобуття посади приват-доцента. За існуючими правилами, кандидат повинен був запропонувати ще три теми для пробної лекції. Глава факультету стверджував одну з них, і після прочитання лекції кандидатом рада остаточно вирішував питання про придатність претендента до викладацької роботи.

У Геттінгені математичний факультет очолював Гаусс. Він знав Рімана ще по докторської дисертації. І існує думка, що побоювався генія молодої людини, бачачи в ньому рівного собі ... Ріман представив на розгляд три теми. Дві з них не викликали ні в кого ні найменшого сумніву. Третя ж, присвячена основам геометрії, була абсолютно «темною конячкою». Втім, Ріман і не збирався вибирати її в якості теми пробної лекції. Зазвичай керівник факультету стверджував найпершу тему з представленого списку, і на цьому справа закінчувалася. Гаусс обрав третю.

Відомий німецький математик Вебер пише: «Гаусс не без умислу вибрав саме цю тему з трьох запропонованих Ріманом. Він сам зізнавався, що йому дуже хотілося почути, як така молода людина зуміє знайти вихід з настільки важкої гри ».

Ріманом знадобилося майже півроку для закінчення роботи над питаннями, лише наміченими назвою теми. І ось нарешті «Геттінгенського Колос» призначає засідання колегії ...

Лекція Рімана називалася «Про гіпотези, що лежать в основі геометрії». Доповідач розглядав геометрію в найбільш узагальненому вигляді, як вчення про безперервних многовидах не тільки звичних нам трьох вимірів, але і будь-яких інших n вимірювань. Якщо в таких многовидах визначено або задано відстань між нескінченно близькими їх елементами, тобто відома метрика, то Ріман називав такі різноманіття просторами, характеризуючи їх властивості кривизною.

Тут, мабуть, доречно трошки відступити в минуле. Думки про можливість існування у простори не трьох, а чотирьох вимірів з'явилися в математиці дуже давно. Історики шукають їх ще за часів Діофанта, в 250 році до нашої ери. У більш виразною формі висловлює її Абу-л-Вафа Мухаммед ібн Мухаммед аль-Бузджані, уродженець Хоросана, який працював в X столітті при дворі Бунд в Багдаді. Потім час від часу ідеї про можливість узагальнення просторового виміру з тривимірного на чотиривимірний і більше виникали у деяких європейських математиків, викликаючи недовіру у оточуючих. Так було, поки в 1788 році французький математик Даламбер не приєднається до просторовим координатам х, у і z четверту координату - час t. Правда, ця остання не користувалася рівними правами з усіма іншими. Якщо в просторі можна рухатися в будь-якому напрямку, то дорога часу має знак одностороннього руху: від минулого до сьогодення верб майбутнє. Але не навпаки, щоб не порушувати принципу причинності, на якому заснований світ. Проте після Даламбера ідея четвертого виміру простору отримала розвиток в роботах багатьох математиків. А потім прийшла пора і не тільки чотиривимірного, але і п'яти-, і шести-, і взагалі n-мірних просторів.

Прискіпливого читача може зацікавити питання: кому і навіщо можуть знадобитися подібні фантастичні, непредставімие наочно побудови абстрактної математики? Справа в тому, що відносини, встановлені багатовимірної геометрією, можуть тлумачитися не обов'язково як просторові, а як зовсім інші відносини між об'єктами, пов'язаними законами багатовимірний. Один з можливих прикладів призводить Е. Кальман в книзі «Четвертий вимір».

Уявіть собі, наприклад, хмарка газу, що складається з n молекул. Кожна молекула цього газу в будь-який момент часу займає якесь положення в просторі, яке визначається трьома координатами. Але, крім того, кожна молекула має ще певним імпульсом (рівним добутку маси на миттєву швидкість). Імпульс ж має теж три доданків, три проекції на осі координат. Таким чином, для визначення стану матеріальної точки - молекули буде потрібно шість характеризують її величин. Інакше кажучи, рух кожної-молекули можна тепер описати як рух точки в щестімерном просторі. А зміна стану всієї системи з n молекул - як рух якоїсь матеріальної точки в 6n-вимірному фазовому просторі. Причому лінія траєкторії цього руху, звана «фазової траєкторією», буде описувати зміна стану всієї системи газових молекул. Такий метод багатовимірного фазового простору застосовується в різних науках: в механіці і термодинаміки, в фізичної хімії та квантової механіки.

Ріман виклав у своїй лекції принципи багатовимірної геометрії в найбільш узагальненому вигляді. Він поклав в основу своїх досліджень гауссовский елемент довжини, тобто нескінченно малу відстань між двома точками. Колись ця ідея дозволила Гауса побудувати внутрішню геометрію викривленою поверхні. На цьому Гаусс зупинився. Ріман же переніс цей метод, цю ідею з поверхні, або інакше з простору двох вимірів, на простору трьох і більше вимірів, узагальнивши і побудувавши нові дивовижні геометрії дивовижних світів.

«Я поставив перед собою завдання сконструювати поняття багаторазово протяжної величини», - говорив Ріман і накидав перед слухачами химерні контури «гіперпростору». Він міркує, що якщо можуть існувати різні поверхні, тобто двомірні простору - плоскі, еліптичні або такі поверхні, як площину Лобачевського, що характеризуються різною по знаку і за величиною гаусом кривизною, то так само можуть існувати і тривимірні або тричі протяжні величини і n- мірні. Причому в світлі цих узагальнень геометрія Евкліда і геометрія постійної негативної кривизни Лобачевського, так само як і геометрія просторів постійної позитивної кривизни, яку ми тепер називаємо геометрією Рімана, є лише окремими випадками. Розглядаючи питання про простір позитивною кривизни, Ріман поширив на нього все властивості сферичної поверхні. Так само як на сфері «прямі» лінії не можуть тривати нескінченно, тому що замкнуті самі на себе, в сферичному просторі «пряма» лінія повинна бути замкнутою.

Сьогодні можна запропонувати такий приклад: володій наш простір позитивною кривизною, промінь світла або космічний корабель, послані з Землі по прямій, через n років неодмінно б повернулися у вихідну точку. А будь ця кривизна такий же великий, як у фантастичних оповіданнях, людина завжди бачив би перед собою власний потилицю ...

Виходило, що сферичне простір повинен бути звичайно і безмежно, як кінцева і безмежна поверхню будь-якої кулі. Так, звикнувши до нескінченності простору Евкліда, таку конструкцію уявити собі було важко навіть подумки.

Гаусс був вражений глибиною думки Рімана. Кандидат був прийнятий на службу і через три роки зайняв посаду професора.

Тридцять один рік виповнилося синові бідного сільського пастора з Брезеленце, коли він вперше отримав можливість думати тільки про науку.

Зміст пробної лекції не було надруковано. Ріман не прагнув до публікацій. Тим більше цієї роботи, яка, як він бачив сам, була доступна дуже обмеженому колу людей. Висловивши в загальному вигляді свої ідеї, він більше не повертається до них. Він багато працює. Пише кілька блискучих математичних мемуарів. Берлінська і Баварська академії наук обирають його своїм членом. Потім слід визнання і з боку Паризької академії та Лондонського королівського наукового товариства ... Але в розпал слави на тридцять дев'ятому році життя «професійний» недуга будинків і інтелігентів XIX століття - сухоти обрушується на нього. Тепер у Рімана є кошти, і він їде в Італію. Але рік, проведений під блакитним південним небом, вже не в силах нічого змінити. У сорок років другий, після Гаусса, німецький математик помер.