Доповідь "Математика в музиці"

1. вступ

розділи: музика

вступ

1. Школа мудрості.

Піфагор створив свою школу мудрості, поклавши в її основу два мистецтва - музику і математику. Він вважав, що гармонія чисел на кшталт гармонії звуків і що обидва цих заняття впорядковують хаотичність мислення і доповнюють один одного. Просторове уявлення, таке необхідне учневі в оволодінні листом, настільки ж важливо і в математиці. Через його відсутність діти не можуть підписати в стовпчик цифри при арифметичних діях, правильно зрозуміти умову завдань, особливо на час, швидкість і відстань, помиляються в усному арифметичному рахунку.

Математичний підхід.

При подальшому навчанні у таких дітей виявляється нездатність стежити за правильною послідовністю виконання арифметичних дій, наприклад, додавання і віднімання робити тільки після виконання множення і ділення. А коли настає час знайомства з геометрією, спроби здолати її повністю зазнають краху, тому що оволодіння цим предметом без просторового уявлення неможливо. Крім того, школярі часто роблять математичні помилки через те, що не володіють математичними символами: вони не можуть стежити за v математичними знаками «+» і «-», плутають знак «<» зі знаком «>». Музика допомагає подолати ці труднощі на самому початковому етапі, так як знання музичної символіки привчає до володіння позначеннями будь-якими, в тому числі і математичними.

2. Рівні музичних міркувань.

Розмови про музику можуть відбуватися на різних рівнях в залежності від того, які процеси нас цікавлять: фізичні, психологічні, культурні і т.д. Дуже важливо розуміти, на якому рівні ведуться міркування. Ми визначимо такі рівні.

Фізичний. Музичні звуки є періодичними коливаннями повітря. Тому їх можна вивчати методами фізики. Багато феномени більш високих рівнів зводяться до фізичного (знаходять своє пояснення в фізиці звуку).

Біологічний. На цьому рівні звуки цікаві нам остільки, оскільки вони сприймаються, інтерпретуються і відтворюються людиною. Тут виникають певні обмеження (діапазон сприйманих частот, точність визначення частоти і т.д.), оцінки звуків (і перш за все мелодій) як милозвучних чи ні (подобається / не подобається). Закономірностями саме цього рівня є сформовані форми музичних інструментів - їх роблять так, щоб людині було зручно грати.

Культурний. Незважаючи на те, що всі люди - Homo Sapiens, в різних культурах виникають різні музичні традиції. Відмінності спостерігаються як між етносами (або суперетнос - кажуть про західно-європейської музики, слов'янської музики, і т.д.), так і між різними рівнями розвитку суспільства (відсутність чітких понять про висоту в давнину, наспівування одного певного звуку - підвалини, виникнення все більш складних ладових систем). Навіть звукоряд в різних культурах різний, наприклад, деякі східні народи ділять півтон на більш дрібні інтервали.

Математичний. Математика є цілком підходящим засобом для опису музичних моделей. Чи можуть чисто математичні результати мати цікаву інтерпретацію в музиці, є для автора спірним. Піфагор, по распростанение версії, намагався звести загальну гармонію до чисел. Ми ж будемо до таких ідей підходити більш обережно.
Як завжди - чітких меж між рівнями немає. Одне і те ж явище може сягати через кілька рівнів. Чому, наприклад, інтервал октава звучить для людини дуже приємно? Можна уявити це як аксіому біологічного рівня, а можна звести до фізичного: звуки, що розрізняються по частоті вдвічі, дають той же безліч обертонів, що і нижній з них. Тому вони практично зливаються. А математично октава описується числом 2, яке є найменшим простим числом. На будь-якому рівні, однак, існують явища, несвідомих до попереднього рівня

3. Фізичні основи звуку

Звук є сприймаються людським слухом коливання повітря. Музичні звуки породжуються музичними інструментами (в цьому сенсі людський голос теж умовно зараховується до музичних інструментів). Традиційною моделлю для вивчення музичних звуків є коливається струна. Струни лежать в основі великого числа інструментів (не тільки струнних, а й, наприклад, клавішних). Розглянемо і ми коливається струну, щоб дізнатися, що ж за коливання повітря вона породжує.

Рівняння коливання струни

Коливання струни вивчали ще піфагорійці. Вони використовували для цього нескладний прилад під назвою монохорд, що вдає із себе єдину струну, закріплену в двох точках над резонатором.
Значно пізніше, в XVIII столітті, після робіт Ньютона і Лейбніца в галузі фізики і диференціального обчислення, було виведено рівняння коливання струни - так зване хвильове рівняння (породило нову область в науці - математичну фізику):

тут - час; - координати якоїсь точки на струні в момент часу ; - функція відхилення точки в момент часу від положення рівноваги; - коефіцієнт пропорційності, що характеризує пружні властивості струни; - сила натягу струни; - щільність однорідної струни. Передбачається, що струна здійснює малі коливання в одній площині.
Рішенням рівняння є нескінченна сума стоячих хвиль.
Кожна функція un є гармонійне коливання з частотою і фазою , Де l - довжина струни.Амплітуда же коливань для різних точок різна. На кінцях струна нерухома. Всі точки струни одночасно досягають свого максимального відхилення в ту або іншу сторону і одночасно проходять положення рівноваги. Такі коливання називаються стоячими хвилями. Нерухомі точки називаються вузлами стоячої хвилі. Посередині між вузлами розташовані точки, в яких відхилення досягають максимуму. Ці точки називют пучностями стоячій хвилі.

Повернемося до музичної інтерпретації:

1. Ми бачимо, що звуки складаються з суми гармонійних коливань. Назвемо ці окремі гармоніки ідеальними звуками, тонами або просто звуками (нім. Ton ). Такі звуки хоч і не існують в природі в чистому вигляді, представляють проте корисну абстракцію, спрощену модель. Такі звуки можна характеризувати частотою (f).
2. Реальний звук струни складається з звуку основної частоти , А також обертонів (верхніх тонів, гармонік) - . Такий складний звук, що складається з основного тону і обертонів, називається в німецькій мові Klang. Основний тон іноді для зручності називають першим обертоном. Співвідношення частот обертонів до основного тону дає нам ряд натуральних чисел: 1, 2, 3, ...
3. Звуки, які не мають основної частоти зовсім (і не описуються хвильовим рівнянням) назвемо шумами і не будемо розглядати зовсім.

Саме поєднання обертонів дає музичну забарвлення звуку - його тембр. Якщо злегка доторкнутися до струни в деякій точці, то все гармоніки, що мають в цій точці пучность, будуть погашені і не будуть чутні. Так можна явно почути внесок обертонів в загальний тембр звуку.

інтервали

Отже, ми тепер розглядаємо звуки, що володіють деякою основною частотою . Обертонами ми зазвичай будемо нехтувати, крім деяких випадків, коли вони важливі.

У музиці нам цікавий не конкретний звук окремо, а співвідношення звуків один до одного. Під інтервалом розуміється відстань між двома звуками. При цьому нижній звук (з меншою частотою) називається підставою інтервалу ( ), А верхній звук (з більшою частотою) - його вершиною (f2). Відстань можна вимірювати по-різному, тому існують різні поняття інтервалу, які, іноді, однаково позначаються в музиці, що привносить плутанину. На фізичному рівні у нас є тільки частоти. Акустичним інтервалом (або інтервальним коефіцієнтом) між двома звуками назвемо частка від ділення частоти вершини на частоту підстави:

Примою називається акустичний інтервал, рівний 1 (тобто тривіальний інтервал), октавою - 2, чистої квінтою - 3/2, чистої квартою - 4/3.

Обережно: на інших рівнях міркувань ті ж назви інтервалів мають зовсім інший зміст!

З фізичної точки зору проінтерпретувати це можна так: при акустичному інтервалі прима хвилі частот звуків збігаються; при інтервалі квінта за одне повне коливання звуку підстави відбувається півтора коливання верхнього звуку, тобто три напівхвилі; при кварті - за півтора коливання звуку підстави верхній звук встигає зробити два повних коливання або чотири напівколивань; при інтервалі октава на одне повне коливання підстави доводиться два коливання верхнього звуку або чотири напівхвилі. (Проінтерпретувати можна, але не потрібно - Grigory Grin 21:00, 13 Лис 2004 року (UTC))

Інтервал, що не перевищує 2, називається простим, більший 2 - складовим. Зверненням інтервалу λ називається величина 2 / λ. Очевидно, що твір інтервалу і його звернення дає октаву.
Надалі при побудові музичного звукоряду будуть використовуватися октави і квінти. Пояснення цьому можна шукати, наприклад, в теорії обертонів. Якщо говорити про струні, то прима - це перший обертон (що співпадає з основним тоном), октава - другий, а квінта - третій. Ці інтервали і звучать для людського вуха найкращим чином (але тут ми забігаємо вперед).

позначення звуків

На даному рівні можна позначати звуки лише їх абсолютної частотою в герцах (Hz) або ж, якщо вибрати один з звуків за точку відліку, можна зіставити кожному іншому звуку інтервал від точки відліку, що обчислюється як частка від ділення частоти звуку на частоту точки відліку. Такий підхід дозволяє абстрагуватися від конкретних частот (залишити це як завдання калібрування) та вивчати лише співвідношення між звуками.

4. Біологічні основи звуку

Оскільки нас цікавлять не коливання взагалі, а лише сприймаються слухом людини, то слід ввести тут певні обмеження.

По-перше, слухом сприймаються не будь-які частоти, а лише лежать всередині певного діапазону. Людина чує звуки від 10-20 Hz до 20 KHz. У музиці використовується лише частина цього діапазону.

По-друге, здатність людини розрізняти звуки різної частоти становить Δf / f = 0,003 ... 0,004. Це буде, наприклад, на 1000 Гц при рівні 80 дБ близько 3 Гц. Півтон (який буде введений пізніше) - це і є мінімальний інтервал, ще помітний людиною (або лише мінімально перевищує такий інтервал). У деяких культурах використовується, правда, ще більш дрібне дроблення.

По-третє, лише меншість людей володіють абсолютним слухом, тобто здатні розрізняти звуки по їх частоті. Більшість же здатні розрізняти лише інтервали між звуками, тобто мають відносним слухом.

І, нарешті, по-четверте, зв'язок відчувається висоти звуку з частотою є функцією нелінійної і сприймається пропорційно логарифму частоти (закон Вебера-Фехнера). Це означає, що характеристикою інтервалу є не різниця частот, а їх частка. Наприклад, звуки з частотами 440, 880 і 1760 Гц здаються рівновіддаленими.

У музиці прийнято говорити не про частоту звуку, а про його висоті, яка є логарифмом частоти коливань.
На біологічному рівні можна поділити вже введені інтервали на консонанс і дисонанси. Консонансом називається злите, згідне звучання двох тонів. На противагу цьому дисонанс - це звучання тонів, "не зливаються» один з одним, немилозвучний інтервал.

інтервальний
коефіцієнт

ступінь
консонансних

Прима

1/1

цілком досконалий

Октава

2/1

цілком досконалий

Квінта

3/2

досконалий

Кварта

4/3

досконалий

Велика секста

5/3

недосконалий

Велика терція

5/4

недосконалий

Мала терція

6/5

недосконалий

Мала секста

8/5

недосконалий

Консонанс виражається математично простими чисельними співвідношеннями звучать частот, а фізично - найкращим збігом обертонів обох звуків. У цьому сенсі, однак, відмінність між консонансом і дисонансом лише якісне. А людське сприйняття ділить інтервали на «хороші» і «погані».

Основні музичні характеристики, такі як музичний звукоряд, тональний ряд, і т.д.строятся на основі різних числових співвідношень.

5. Про співвідношення математичного обґрунтування і психологічного впливу музики

1. Музика як звучить тотожність раціональних порядків і можливість обґрунтування афектів в пропорції

"... щоб живопис могла розвивати такі ж сили, якими володіє музика", ця мрія Кандинського збулася в 1910 році, коли в своїх картинах він відмовився від копіювання матеріального світу і перейшов до чистого зображенню гармонії форм і фарб.
Назви його картин: композиція, ритм, імпровізація, концерт і фуга - вказують на музичні, хоча і не акустичні уявлення.

Абстрактний живопис є породженням руху, що почався приблизно в 1800 році, його метою була музикалізація образотворчого мистецтва і поезії; це рух ототвінуло на другий план специфіку окремих жанрів мистецтв заради загальних структурних властивостей, які дозволили провести аналогію з музичними явищами.
"Звук за звуком", таку назву має вірші Йозефа фон Ейхендорфа; Штефану Георгу здавалося, ніби він складає вірші як музику, при цьому він стверджував, що цінність поезії визначається лише формою того хвилюючого, що укладено в розмірі і звуці.

Передумовою для можливого узагальнення музики з'явилася висловлена ​​одного разу Карлом Філіпом Морітц ідея, що мистецтво космос і тому є автономним. Але, з іншого боку, на це скоріше може претендувати лише самий абстрактний всіх жанрів мистецтв - музика, яку можна розуміти як звучить тотожність вічної гармонії.
"Музичні співвідношення є власне основними співвідношеннями в природі". Ця точка зору Новалиса повністю збіглася з лекціями Шеллінга з філософії та мистецтва (1802-1803 рр.), Де він стверджував: "У сонячній системі також відбивається вся система музики".

Музика як прояв вищих логічних порядків - це абстрактне поняття музики в 1800 р було новим; але в той же час таке тлумачення ймовірно було відображенням стародавніх уявлень про музику, і в якості підтвердження цього можна навести початок "Фауста" Гете або інші посилання романтиків на поняття небесних звуків.
У зв'язку з питанням про співвідношення раціональності і афекту не настільки важливо уточнювати історичні корені цього поняття музики, скільки перевірити збіг з іншими точками зору, що може показати в деякій мірі ту складну мінливість, яка робить музику, з одного боку, абстрактно-логічно чинним, а з іншого боку, найбільш емоційним видом мистецтва.

Емфатіческій розуміння співвідношень в музиці як абстрактного системного ладу, що є відображенням основних співвідношень в світі, зустрічається також в давнину і в середні віки.
Абстрактним було розуміння музики в дусі Піфагора і Платона , Адже воно мало на увазі саме математичний опис.
Здавалося, що лежить в основі музики система регулюється числовим порядком, причому прості числові співвідношення займали особливе місце. Вони не тільки регулювали освіту тетрахордов і тональностей, а й скоріш виглядали всеподчіняющій метафізичний принцип, який дозволяв проводити будь-які аналогії.

Спробу описати рух планет, беручи до уваги музичні пропорції, як це намагався зробити ще Кеплер у 1610 р, слід віднести до античних часів, хоча вже Аристотель заперечував, що небесна музика по-справжньому звучить.
Обгрунтування музики за допомогою числа в середні століття, коли вміння Піфагора продовжував розвивати в основному Боецій, звело заняття музикою в абстракцію, так як реально звучить музика вважалася нецікавою, але поряд з цим визнавалася можливість наукового підходу до поняття її суті.

Практично займатися музикою, як і столярним ремеслом, вважалося ars faciendi, тобто цим мистецтвом міг опанувати кожен, освоїв суму тез.
Музика, одне з семи видів мистецтв, входила в квадрівіум поряд з арифметикою, геометрією та астрономією як наукова дисципліна, а не як практичне заняття мистецтвом.

Вона представляла Зміст, доступне лише розуму, тобто пов'язане з чисто розумовою діяльністю, і на відміну від арифметики охоплювала стійкі, а рухливі числові відносини.
Штучне в музиці проявлялося в методі обчислень (наприклад, визначення консонанса). І на основі того, що музиці можна було знайти суто теоретичне математичне визначення, вона представлялася вплетеною у весь Всесвіт.
"Musica instrumentalis" - безпосередньо звучить музика, була відображенням "musica mundana" - гармонії світу, а "musica humana" - впорядкованих пропорцій людського тіла.
"Музичні співвідношення здавалися дійсно основними співвідношеннями в світі". Споглядальне занурення в математичну структуру звукової системи призвело до небесної механіки.

Число як Уточнюючий інструмент знову Набуль значення в естетичних подивимось XX в. За допомогою нього нова музика могла реалізувати зросле вимога раціональності, яке могло стати нормою відносин взагалі. Додекафонічної твори, де математичні дії використовувалися для побудови співзвучною інтегральної композиції, виникли з бажання створити шляхом логічних розрахунків порядок в хаотичному світі.
Підіб'ємо підсумок: ідея системного порядку, в якій порівнюються музичні відносини гармонії із земними, все знову і знову з'являється в естетичних поглядах.

І в дуже різних, віддалених великими проміжками часу культурні зв'язки, намагалися висловити ці гармонії постійними числами з метою показати, що логіка математики пояснює логіку світу і в тому числі музики.
Такі математичні обгрунтування зводяться в ранг метафізичної інстанції. У звуковій формі музичної п'єси також знаходить своє вираження цей принцип.
Та думка, що музика є втіленням логічного порядку, не завжди мала на увазі її музично-слухове вплив. Швидше проявляються дуже принципові відмінності: з одного боку, було взагалі прагнення до емоційного впливу, і, з іншого боку, в якому ступені обґрунтування хвилюючого впливу музики було можливо за допомогою логічних структур.

Так як в стародавні часи і в середні століття припускали, що людські органи підкоряються тим же принципам, що і музика, було легко розвинути теорію про впливах, яка дуже точно визначала структуру афекту, наприклад в сфері тональності, в залежності від пропорцій.

Важливість цієї теорії підтверджується дискусією про виразності тональностей в тональної музики. І так як числа розумілися не як математичний, а як метафізичний принцип, їх можна було вважати предваряющими емоційний вплив.
Однак у міру того як такі переконання слабшали, musica humana і istrumentalis вже не співвідносили з musica mundana, ототожнення пропорцій і емоційного впливу стало проблематичним до такої міри, що в XX ст. музика в своїх естетичних наміри дійшла до чистого розрахунку і не могла вже ні висловлювати афекту, ні викликати його.

І саме музика, яка надавала самі інтенсивні емоційні впливу, музика XIX ст., Хоча ще і розглядалася як система скоєних відносин, однак ця система вже більше не пояснювала психологічного впливу, а навпаки, її обґрунтуванням служили психологічні дані.
Музика періоду класицизму і романтизму вже майже не могла пояснити логічне дію взаємозв'язків простими математичними пропорціями. Навіть тризвук в темперированной системі, що стало передумовою для розвитку іструментальна музики, вважалося дуже сміливою заявкою.
Характер цієї музики як тотожності раціонального порядку визначався почуттям добре зважена гармонії і симетричними угрупованнями, тобто на відміну від античних змін раціональність звукової системи обгрунтовувалася афекту.

Музична логіка - Йоганн Ніколаус Форкель використовував в 1788 р цей вислів вперше - постає як осмислення взаємозв'язків і відносин. А складні відносини, які сприймалися в той же час як вираз досконалого порядку - і в цьому перевершували всі придумані людьми абстрактні системи, - представляли музику як метафору всесвіту.
Музична звукова система не могла бути породженням якої-небудь іншої, в тому числі і математичної системи, а навпаки, інші системи були запозичені у музики.
Перебільшуючи, можна сказати, що не музика, що дає враження абсолютного, потребувала обгрунтуванні, а спекуляції з теорією чисел, які зі свого боку не підкріплювалися більше метафізичним принципом.
І які б паралелі ні проводилися між абстрактним поняттям музики періоду романтизму і більш ранніми і пізніми періодами, з ідеєю абсолютної музики зник і принцип, який пояснював її емоційний вплив і ставив афекти в залежність від раціональності.

Висловлювання знаменитостей.

Поважний Піфагор відкидав оцінку музики, засновану на свідоцтві почуттів. Він стверджував, що гідності її повинні сприйматися розумом, і тому судив про музику не на послух, а на підставі математичної гармонії і знаходив достатнім обмежити вивчення музики межами однієї октави. Плутарх

Справжня наука і справжня музика вимагають однорідного розумового процесу. Альберт Ейнштейн

Музика є таємнича арифметика душі; вона обчислює, сама того не усвідомлюючи. Готфрід Лейбніц

Пройдуть мільйони років, і якщо музика в нашому розумінні буде ще існувати, то ті ж сім основних тонів нашої гами, в їх мелодійних і гармонійних комбінаціях, пожвавлені ритмом, будуть все ще служити джерелом нових музичних думок. Петро Чайковський

Надзвичайна бідність, хиткість і розрізненість існуючих основ музичної естетики спонукає нас допитливо вдивлятися повсякчас закономірне явище, що відноситься до цієї області, в надії підняти хоча б куточок ізідовой завіси, яка приховує від нашого розумового погляду таємничі творчі закони природи. Е.Розенов

Вона занадто музична для математиків і занадто математична для музикантів - гостроти сучасників з приводу «нової теорії музики». Леонард Ейлер

Роздумуючи про мистецтво і науку, про їх взаємних зв'язках і суперечностях, я прийшов до висновку, що математика і музика знаходяться на крайніх полюсах людського духу, що цими двома антиподами обмежується і визначається вся творча духовна діяльність людини і що між ними розміщується все, що людство створило в області науки і мистецтва. Генріх Нейгауз

Опитування учнів ГОУ СОШ № 1161 «Навіщо потрібна математика в музиці?»

Махмадіева Вікторія 7- «В» клас: «Математика потрібна музиці для того, щоб музика звучала приємно».
Ворошилін Дарина 7- «Б» клас: «Математика потрібна для гармонії в музиці».
Єгорова Настя - «Б» клас: "Математика призводить музику в порядок, робить її приємною для слуху»
Біндішева Дар'я 5 «Б» клас "Математичні закони роблять музику лікувальної»

ВИСНОВОК: Математика є ключем до таємниць світогляду. Використання математичної теорії музики дозволило Піфагору створювати особливу музику, яка стримувала і зцілювала хвороби, звертала і приводила душевні пристрасті в спокійний стан.

Список літератури:

1 В.П. Ковальов "Математика в музиці". Виступ на семінарі в Московському фізико-технічному інституті в секції математичних основ життєустрою.
2 О.Н.Макеева Науково-дослідна робота по темі: «Математичне подання музики».
3 Інтернет ресурс: http://ru.wikibooks.org/wiki
4 Інтернет ресурс: Letopisi.ru Проект «Музична математика»

12.04.2010