Дослідницька робота на тему: "Історія розвитку геометрії"

1. Вступ

V шкільна науково-дослідницька конференція учнів

«Відкриття»

Історія розвитку геометрії

Автор: Єрьомін Тимофій

м Саратов,

МОУ «Середня загальноосвітня школа № 76», 6 «А» клас

керівник:

Корибко Ольга Геннадіївна,

вчитель математики

МОУ «Середня загальноосвітня школа № 76» м Саратова

м Саратов, 2015

Зміст

1. Вступ

2. виникнення геометрії

3. Розвиток геометрії в Єгипті

4. Геометрія в Греції

5. Внесок російського математика Лобачевського Н.І.

6. Практичне доказ теореми Піфагора

7. висновок

8. Список джерел та літератури

Вступ

Моя робота називається «Історія розвитку геометрії». Головна мета моєї роботи дізнатися:

1. Вивчити історію появи геометрії.
2. Показати розвиток геометрії як науки від найдавніших часів до наших днів.
3. Розповісти про роль вчених-математиків в розвитку геометрії, їх внесок в науку.
4. Показати на практиці доказ деяких геометричних фактів.

Метою моєї роботи є вивчення та дослідження розвитку і становлення геометрії як науки. Показати яку роль відіграє геометрія в житті людей різних часів і народів. У цьому навчальному році у нас в школі з'явився новий предмет, який називається «Основи геометрії». Тому у мене з'явився величезний інтерес дослідити виникнення та розвиток геометрії, дізнатися про життя великих учених, показати їх роль у становленні цієї науки.

Перед собою я поставив такі завдання:

1. Вивчити літературу про історію науки геометрії.
2. Вивчити кожен етап розвитку геометрії.
3. Вивчити роль відомих учених у становленні геометрії.
4. Провести практичне доказ теореми Піфагора.

Актуальність теми: Геометрія, як і будь-яка наука, виникла під впливом життєвих потреб. Необхідність повсякденного задоволення їх ставить людину перед цілим рядом питань про форму оточуючих його предметів, обчисленнях, пов'язаних з землеміром, будівельною справою і т.д. Слово "геометрія" означає "землемерие" і ясно вказує на джерело його походження. Незважаючи на те, що вік геометрії обчислюється тисячоліттями, геометрія і зараз продовжує бурхливо розвиватися. Вона зберігає найважливіше значення в наші дні. Вона застосовується в будівництвах, техніці, в практичному житті.

виникнення геометрії

На початку XX століття великий французький архітектор Ле Корбюзьє сказав:

«Я думаю, що ніколи до теперішнього часу ми не жили в такій геометричний період. Все навколо - геометрія ».

Ці слова дуже точно характеризують і наш час. Світ, в якому ми живемо, наповнений геометрією будинків і вулиць, гір і полів, творіннями природи і людини. Краще орієнтуватися в ньому, відкривати нове, розуміти красу і мудрість навколишнього світу допоможе нам предмет - геометрія, який ми почали вивчати з цього року.

Для первісних людей важливу роль грала форма їхніх околицях предметів. За формою і кольором вони відрізняли їстівні гриби від неїстівних, придатні для будівель породи дерев від тих, які годяться лише на дрова, смачні горіхи від гірких і т.д. Особливо смачними здавалися їм горіхи кокосової пальми, які мають форму кулі. А добуваючи кам'яну сіль, люди натрапляли на кристали, що мали форму куба. Так, опановуючи навколишнім світом, люди знайомилися з найпростішими геометричними формами.

Вже 200 тисяч років тому були виготовлені знаряддя порівняно правильної геометричної форми, а потім люди навчилися шліфувати їх. Спеціальних назв для геометричних фігур, звичайно, не було. Говорили: «такий же, як кокосовий горіх» або «такий же, як сіль» і т.д.

А коли люди стали будувати будинки з дерева, довелося глибше розібратися в тому, яку форму слід надавати стін і даху, якої форми повинні бути колоди. Самі того не знаючи, люди весь час займалися геометрією: жінки, виготовляючи одяг, мисливці, виготовляючи наконечники для копій або бумеранги складної форми, рибалки, роблячи такі гачки з кістки, щоб риба з них не зривалася.

Коли стали будувати будівлі з каменю, довелося перетягувати важкі кам'яні брили. Для цього застосовувалися катки. І помітили, що перекочування простіше, якщо взяти шматок дерева з майже однаковою товщиною на початку і в кінці. Так люди познайомилися з одним з найважливіших тел - циліндром. Скалками циліндричної форми користувалися і жінки, розгортаючи білизна після прання.

Перевозити вантажі на ковзанках було досить важко, тому що самі стовбури дерев важили багато. Щоб полегшити роботу, стали вирізати зі стовбурів тонкі круглі пластинки і з їх допомогою перетягувати вантажі. Так з'явилося перше колесо.

Але не тільки в процесі роботи знайомилися люди з геометричним фігурами. З давніх-давен вони любили прикрашати себе, свій одяг, своє житло (намистинки, браслети, кільця, прикраси з дорогоцінних каменів і металів, розпис палаців).

Для того, щоб стягувати податки з землі, необхідно було знати їх площа. Гончару необхідно було знати, яку форму слід надати посудині, щоб в нього входило ту чи іншу кількість рідини. Астрономи, які спостерігали за небом і давали на основі цих спостережень вказівки, коли починати польові роботи, повинні були навчитися визначати положення зірок на небі. Для цього знадобилося вимірювати кути. Так практична діяльність людей призвела до подальшого поглиблення знань про форми фігур, розвитку геометрії. Люди стали вчитися вимірювати і площі, і обсяги, і довжини і т.д.

Стародавні єгиптяни були чудовими інженерами. До сих пір не можуть до кінця розгадати загадки величезних гробниць єгипетських царів - фараонів.

Піраміди - а вони побудовані більше 5 тис. Років тому - складаються з кам'яних блоків вагою 15 тонн, і ці «цеглинки» так підігнані одна до одної, що неможливо між ними протиснути і поштову листівку. А при будівництві використовували лише найпростіші механізми - важелі і катки.

«Все боїться часу, але саме час боїться пірамід».

У Вавилоні під час розкопок вчені виявили залишки кам'яних стін, висотою в кілька десятків метрів, а висота Вавилонської вежі сягає 82 метра.

Без математичних знань всі ці споруди неможливо було б побудувати. І все ж математичні знання єгиптян і вавилонян були розрізнені і представляли собою звід правил, перевірених практикою, тому правила треба було зазубрювати, не розуміючи, чому треба застосовувати те, а не інше.

Майже всі великі вчені давнини і середньовіччя були видатними геометрами. Девіз давньої школи був: "Не знають геометрії не допускаються!"

Слово «геометрія» прийшло до нас із Греції. Воно складене з двох слів: «гео», що в перекладі на російську мову означає «земля», і «Метро» - «міряю». Саме слово «геометрія» вказує на практичне походження науки. Геометрія (від грец. Geо - земля і metrein - вимірювати) - наука про простір, точніше - наука про форми, розміри і межі тих частин простору, які в ньому займають речові тіла. Таке класичне визначення геометрії, або, вірніше, таке дійсне значення класичної геометрії. Однак сучасна геометрія в багатьох своїх дисциплінах виходить далеко за межі цього визначення. Розвиток геометрії принесло з собою глибоко йде еволюцію поняття про простір. У тому значенні, в якому простір як математичний термін широко вживається сучасними геометрами, воно вже не може служити первинним поняттям, на якому спочиває визначення геометрії, а, навпаки, сама знаходить собі визначення в ході розвитку геометричних ідей. Важливу роль грали і естетичні потреби людей: бажання прикрасити своє житло і одяг, малювати картини навколишнього життя.

Все це сприяло формуванню і накопиченню геометричних відомостей. За кілька століть до нашої ери в Вавилоні, Китаї, Єгипті та Греції вже існували початкові геометричні знання, які добувалися в основному дослідним шляхом. Але вони не були ще систематизовані і передавалися від покоління до покоління у вигляді правил і рецептів, наприклад, правил перебування площ фігур, об'ємів тіл, побудова прямих кутів і т.д. Не було ще доказів цих правил, і їх виклад не представляло собою наукової теорії. Геометрія дає загальне поняття про геометричну фігуру, під якою розуміють не тільки тіло, поверхня, лінію або точку, але і будь-яку їх сукупність. Геометрія в первинному значенні є наука про фігури, взаємне розташування і розміри їхнього частин, а також про перетворення фігур. Це визначення цілком узгоджується з визначенням геометрії як науки про просторові форми і відносинах фігур. Дійсно, фігура і є просторова форма, тому в геометрії, наприклад, кажуть, "куля", а не "тіло кулястої форми". Розташування і розміри визначаються просторовими відносинами. Нарешті, перетворення, як його розуміють у геометрії, так само є певний стосунок між двома фігурами - даної і тієї, в яку вона перетвориться.

Розвиток геометрії в Стародавньому Єгипті

Стародавній Єгипет вважається першою державою, яка залишила найдавніші математичні тексти. Стародавні греки, досягнення яких лежать в основі сучасної науки, вважали себе учнями єгиптян. Першою книгою, що містить геометричні завдання, вважається папірус Райнд (в деяких джерелах Г. Рінла), який датується ХХ століттям до нашої ери. У вступній частині папірусу Райнд пояснюється, що він присвячений "зробленому й обгрунтованому дослідженню всіх речей, розумінню їх сутності, пізнання їх таємниць». Всі завдання, наведені в тексті, мають в тій чи іншій мірі практичний характер і могли бути застосовані в будівництві, розмежування земельних наділів та інших сферах життя і виробництва.

«Геометрія була відкрита єгиптянами і виникла при вимірі землі. Немає нічого дивного в тому, що ця наука, як і інші, виникла з потреб людини. Будь-яке виникає знання з недосконалого стану переходить в досконале. Зароджуючись шляхом чуттєвого сприйняття, воно поступово стає предметом розгляду і нарешті, робиться надбанням розуму ». Ці чудові слова приписують грецькому вченому Евдему Родосскому, що жив в IV ст. до н.е.

Що вміли стародавні єгиптяни: Вміли точно знаходити площа поля прямокутної, трикутної, трапецієподібної форми. Вміли будувати прямокутний трикутник за допомогою мотузки, розділеної вузлами на 12 рівних частин. Знали, що відношення довжини кола до діаметру - число постійне, наближене значення цього числа - π. Серед просторових тіл самим єгипетським можна вважати піраміду, адже саме таку форму мають знамениті усипальниці фараонів, хоча досить близько вони знайомі з кубом, параллелепипедом призмою і циліндром, вміли обчислювати обсяг цих фігур. Вміли обчислювати обсяг усіченої піраміди, в основі якої квадрати.

В «Енциклопедичному словнику юного математика» написано: «Геометрія - одна з найбільш древніх математичних наук. Перші геометричні факти ми знаходимо в вавилонських клинописних таблицях і єгипетських папірусах (III тисячоліття до н.е.), а також в інших джерелах ».

Геометрія в Греції

Геометрія, за свідченням грецьких істориків, була перенесена в Грецію з Єгипту в 7 в. до н. е. Тут на протязі декількох поколінь вона складалася в струнку систему. Процес цей відбувався шляхом накопичення нових геометричних знань, з'ясування зв'язків між різними геометричними фактами, вироблення прийомів доказів і, нарешті, формування понять про фігуру, про геометричному пропозиції і про доказ. Цей процес привів, нарешті, до якісного стрибка. Геометрія перетворилася в самостійну математичну науку: з'явилися систематичні її викладу, де її пропозиції послідовно доводили.

Великий вчений Фалес заснував одну з найпрекрасніших наук - геометрію. Фалес мав титул одного з семи мудреців Греції, він був воістину першим філософом, першим математиком, астрономом і взагалі першим з усіх наук в Греції. Він був зарахований до семи мудреців давнини, серед яких він перший. Фалес вирішив наступні завдання. Запропонував спосіб визначення відстані до корабля на морі. Обчислив висоту єгипетської піраміди Хеопса по довжині відкидаємо тіні. Довів рівність кутів при основі рівнобедреного трикутника. Ввів поняття руху, зокрема повороту. Довів друга ознака рівності трикутників і вперше застосував його в завданні. Створив теорему про рівних відрізках, що відсікаються паралельними прямими на сторонах кута. В даний час існує думка про те, що багато відкриттів Фалеса були просто запозичені з єгипетської науки.

Ще один давньогрецький математик, філософ - Піфагор Самоський.

Він навчався геометрії у єгиптян, які займалися нею з давніх часів. Піфагор вважав геометрію необхідної для філософів. Доведена їм знаменита теорема носить його ім'я. На даний момент в науковій літературі зафіксовано 367 доказів даної теореми. Ймовірно, теорема Піфагора є єдиною теоремою з настільки значним числом доказів. Таке різноманіття можна пояснити лише фундаментальним значенням теореми для геометрії.

Найбільший вплив на весь наступний розвиток геометрії зробили праці грецького вченого Евкліда , Який жив в Олександрії в III столітті до нашої ери. Центральне місце серед античних праць з геометрії займають складені близько 300 до н. е. «Начала» Евкліда. всі положення виводяться логічним шляхом з невеликого числа явно зазначених і не доказуваних припущень - аксіом. Твір Евкліда «Начала» майже 2000 років служило основним книгою, по якій вивчали геометрію. В «Засадах» були систематизовані відомі на той час геометричні відомості, і геометрія вперше постала як математична наука.

Евклід жив в Олександрії, був сучасником царя Птоломея I і учнем Платона. Славу Евклиду створив його збірний працю «Начала». Твір складалося з 13 томів, описана в цих книгах геометрія отримала назву - Евклидова. Величезна заслуга його полягала в тому, що він підвів підсумок побудови геометрії, надав її викладу настільки досконалу форму, що на 2 тисячі років «Начала» стали основним посібником з геометрії. Протягом багатьох століть «Начала» були єдиною навчальною книжкою, за якими молодь вивчала геометрію. Були й інші. Але кращими визнавалися «Начала» Евкліда. І навіть зараз, в наш час, підручники написані під великим впливом «Начал» Евкліда.

Звичайно, геометрія не може бути створена одним ученим. В роботі Евклід спирався на праці десятків попередників і доповнив роботу своїми відкриттями і дослідженнями. Сотні разів книги були переписані від руки, а коли винайшли книгодрукування, то вона багато разів перевидавалася на мовах всіх народів і стала однією з найпоширеніших книг у світі.

В одній легенді говориться, що одного разу єгипетський цар Птолемей I запитав давньогрецького математика, чи немає більш короткого шляху для розуміння геометрії, ніж той, який описаний в його знаменитій праці, що міститься в 13 книгах. Вчений гордо відповів:

"У геометрії немає царської дороги".

«Начала» складаються з 13 книг. Перші чотири присвячені геометрії на площині. В 1 книзі викладається планиметрия прямолінійних фігур: встановлюються їх властивості, закінчується прямий і зворотній теоремою Піфагора. У 2 книзі викладається основи геометричної алгебри. 3-тя книга присвячена властивостям кола, в четвертій будуються правильні n-косинці при n = 3, 4, 5, 6, 10, 15. 11 книга присвячена стереометрії. Вона містить основні теореми про прямих і площинах в тривимірному просторі, завдання на побудову, наприклад, як опустити перпендикуляр з даної точки на дану площину. 12 книга присвячена вирішенню задачі про квадратуру кола. 13 книга викладає вчення про правильні многогранниках. В цілому творіння Евкліда велично. Створена ним система проіснувала більше двох тисяч років. Але наступні математики не в усьому погоджувалися з системою аксіом і визначень і намагалися її поліпшити. Деякі виявилися непотрібні, наприклад, що прямі кути рівні. Це очевидно з інших аксіом. Особливе незадоволення завжди викликав п'ятий постулат, який стверджував: що через будь-яку точку площини можна провести тільки одну пряму паралельну даній. Багато хто вважав її теоремою і намагалися її невдало довести.

Крім Евкліда видатним вченим був Архімед (287 -212 рр. До н. Е.), Що жив в Сіракузах, де він був радником царя Герона. Йому належать теореми про площі плоских фігур, обсягах тел. У роботі «Вимірювання круга» він наводить обчислення наближеного значення довжини кола. У книзі «Про кулі і циліндрі» їм дано обчислення обсягу кулі і площі його поверхні.

Слідом за Евклідом Архімед займався вивченням правильних багатогранників. Переконавшись в тому, що правильних багатогранників тільки п'ять, Архімед став будувати багатогранники, у яких гранями є правильні, але не однойменні багатокутники, а в кожній вершині, як і у правильних багатогранників, сходиться одне і те ж число ребер. В результаті були отримані так звані Рівнокутні напівправильні багатогранники. До нас дійшла робота вченого, яка називається «Про многогранниках», докладно описує тринадцять таких багатогранників, які отримали назву «тіла Архімеда».

Вчений, за висловом сучасників, був зачарований геометрією, і, хоча у нього було багато прекрасних відкриттів, він просив на своїй могилі зобразити циліндр з вписаним в нього кулею і вказати співвідношення обсягів цих тіл. Пізніше саме з цього зображення було знайдено могила Архімеда.

Внесок російського математика Лобачевського Н.І.

У 1826 році великий російський математик Микола Іванович Лобачевський поставив крапку в проблемі п'ятого постулату. Замість нього він прийняв допущення, згідно з яким в площині можна побудувати, принаймні, дві прямі, що не перетинаються. Подальші його міркування привели його до нової бездоганної геометричній системі, званої зараз геометрією Лобачевського. У його геометрії сума кутів трикутника менше 180 °, в ній немає подібних фігур. У ній існують трикутники з попарно паралельними сторонами.

Лобачевський помер невизнаним. Через кілька десятиліть ситуація в науці докорінно змінилася. Геометрія Лобачевського - геометрія Всесвіту, геометрія нескінченного простору, який приховує в собі безліч нерозкритих таємниць. Але, не дивлячись на те, що вік геометрії обчислюється тисячоліттями, геометрія і зараз продовжує бурхливо розвиватися. Вона зберігає найважливіше значення в наші дні. Вона застосовується в будівництвах, техніці, в практичному житті. Без неевклідової геометрії не обійтися сучасній астрономії, космонавтиці, фізики.

Практичне доказ теореми Піфагора

Піфагорійці і числа. Піфагорійці вивчили варіанти, в яких величини всіх сторін прямокутного трикутника виражаються цілими числами. Взагалі, вони надавали числам дуже велике значення, вважаючи, що через них можна виразити все закономірності в світі. І самі числа вони наділяли різноманітними властивостями. Наприклад, вони вважали, що 5 символізує колір, 6 холод, 7 розум, здоров'я і світло, 8- кохання та дружбу, і так далі.

Числа, які вивчали Піфагорійці. Числа, що дорівнюють сумі всіх своїх дільників, такі як 6, 28, 496, 8128, вони вважали досконалими.

Одна з найголовніших заслуг Піфагора - це теорема, яка носить його ім'я ...

Якщо дано нам трикутник

І до того ж з прямим кутом,

Те квадрат гіпотенузи

Ми завжди легко знайдемо:

Катети в квадрат зводимо,

Суму ступенів находім-

І таким простим шляхом

До результату ми прийдемо.

Кантор (німецький історик математики) вважає, що рівність 3 ² + 4 ² = 5² було відомо вже єгиптянам ще близько 2300 р. До н.е. е. На думку Кантора гарпедонапти, або "натягівателі мотузок", будували прямі кути за допомогою прямокутних трикутників зі сторонами 3, 4 і 5.

Дуже легко можна відтворити їх спосіб побудови. Візьмемо мотузку довжиною в 12 м і прив'яжемо до неї по кольоровий смужці на відстані 3м від одного кінця і 4м від іншого. Прямий кут виявиться укладеним між сторонами довжиною в 3 і 4 метри. Не підлягає, однак, сумніву, що цю теорему знали за багато років до Піфагора. Так, за 1500 років до Піфагора стародавні єгиптяни знали про те, що трикутник зі сторонами 3, 4 і 5 є прямокутним, і користувалися цією властивістю (т. Е. Зворотної теоремою Піфагора) для побудови прямих кутів в плануванні земельних ділянок та споруд будівель.

Доказ теореми Піфагора, засноване на побудові рівнобедрених трикутників

дано: АВС - прямокутний,

АВ = ВС

довести: = +

Доведення:

1) Побудуємо: квадрат зі стороною а; квадрат зі стороною с;

квадрат зі стороною b

2) Побудуємо діагоналі квадратів, отримаємо рівнобедрений

трикутники, рівні трикутнику АВС

3) Площа квадрата зі стороною з складається з учетверенной площі трикутника АВС, а площа квадрата зі сторонами а і b - з подвоєною площі трикутника АВС:

= 4SABC

= 2SABC

= 2SABC

Cледовательно, = + .

Доказ теореми Піфагора, запропоноване древніми індусами

Для першого квадрата:
= + 4SABC.

Для другого квадрата:

= + + 4SABC.

отже,

+ 4SABC = + + 4SABC.

= +

Стародавні індуси не записує доказ, а свої малюнки супроводжували словом «ДИВИСЬ».

Доказ теореми Піфагора, засноване на розрізанні квадратів

Відомі доведення теореми Піфагора, засновані на розрізанні квадратів, побудованих на катетах, на фігури, з яких можна скласти квадрат, побудований на гіпотенузі.

Доказ Перігаля.

У підручниках нерідко зустрічається розкладання вказане на малюнку (так зване "колесо з лопатями"; це доказ знайшов Перігаль). Через центр квадрата, побудованого на більшій катеті, проводимо прямі, паралельну і перпендикулярну гіпотенузи. Відповідність частин фігури добре видно з креслення.

Доказ Бетхер.

На малюнку дано досить наочне розкладання Бетхер.

Доказ Гутхейля.

Зображення на малюнку розкладання Належить Гутхейль; для нього характерно наочне розташування окремих частин, що дозволяє відразу побачити, які спрощення спричинить за собою випадок рівнобедреного прямокутного трикутника.

З давніх-давен математики знаходять все нові і нові докази теореми Піфагора, все нові і нові задуми її доказів. Таких доказів - більш-менш суворих, більш-менш наочних - відомо більше двохсот, але прагнення до збільшенню їх числа збереглося.

ЗАВДАННЯ

1. Для кріплення щогли потрібно встановити 4 троса. Один кінець кожного троса повинен кріпитися на висоті 12 м, інший на землі на відстані 5 м від щогли. Чи вистачить 50 м троса для кріплення щогли?

Рішення:

1. + =

= 144 +25

= 169

X = 13

1. 13 ∙ 4 = 52 (м)

Відповідь: 50 м для кріплення щогли не вистачить.

1. У єгиптян була відома задача про лотосі:

"На глибині 12 футів росте лотос з 13-футовим стеблом. Визначте, на яку відстань квітка може відхилитися від вертикалі, що проходить через точку кріплення стебла на дно."

Природно, при вирішенні використовувалася теорема Піфагора.

До теоремі Піфагора його учні складали віршики, на кшталт:

«Піфагороі штани всі сторони рівні»

А також малювали такі карикатури:

Висновок

Наука геометрія дуже важлива для людини. Геометрія розвивалася за кілька століть до нашої ери в Вавилоні, Китаї, Єгипті та Греції. Великий внесок у розвиток геометрії внесли відомі вчені: Евклід і його книга під назвою «Начала», Архімед, Піфагор, Фалес і інші вчені. Наука геометрія і зараз розвивається. Ми легко вирішуємо завдання, для яких в давнину було б потрібно багато часу і сил.

Сьогодні вже на початку XXI століття ми можемо повторити вигук архітектора Корбюзьє з ще більшим здивуванням. Справді, подивіться навколо - скрізь геометрія! Сучасні будівлі і космічні станції, підводні човни, інтер'єри квартир і побутова техніка - все має геометричну форму. Геометричні знання є сьогодні професійно значущими для багатьох сучасних спеціальностей: для дизайнерів і конструкторів, для робітників і вчених. І вже цього досить, щоб відповісти на питання: «Чи потрібно нам Геометрія?» По-перше, геометрія є первинним видом інтелектуальної діяльності, як для всього людства, так і для окремої людини. Світова наука почалася з геометрії. Дитина, ще не навчився говорити, пізнає геометричні властивості навколишнього світу. По-друге, геометрія є однією зі складових загальнолюдської культури. Деякі теореми геометрії є одними з найдавніших пам'ятників світової культури. Людина не може по-справжньому розвинутися культурно і духовно, якщо він не вивчав в школі геометрію; геометрія виникла не тільки з практичних, а й з духовних потреб людини. Основою курсу геометрії є принцип докази всіх тверджень. І це єдиний шкільний предмет, включаючи навіть предмети математичного циклу, повністю заснований на послідовному виведення всіх тверджень. Отже, Геометрія - один з найважливіших предметів, причому не тільки серед предметів математичного циклу, а й взагалі серед всіх шкільних предметів. Її цільової потенціал охоплює надзвичайно широкий арсенал, включає в себе мало не мислимі мети освіти.

Список джерел та літератури

1. Глейзер Г. І. Історія математики в школі. - М.: Прсвещеніе, 1982р
2. Депман І. Я., Виленкин Н.Я. За сторінками підручника математики: посібник для учнів 5-6 класів середньої школи. - М.Просвещеніе, 1989
3. Дитяча енциклопедія «Махаон»
4. Кордемский Б.А. Великі життя в математиці. - М .: Просвещение, 1995
5. Свечников А.А. Подорож в історію математики або як люди навчилися рахувати. - М.: Просвещение, 1995
6. Шаригін І.Ф., Л.Н. Ерганжіева. Налядная геометрія. 5 - 6 кл .: Посібник для загальноосвітніх навчальних закладів. - М.: Дрофа, 2002
7. http://ru.wikipedia.org/wiki/
8. http://www.google.ru