Електронний підручник з Математики

1. Введення

1.1 Гра випадку

"

A. Дюма

345 років тому, в 1657 році, було опубліковано твір видатного голландського вченого Християна Гюйгенса "Про розрахунки при грі в кістки", яке є одним з перших досліджень в області теорії ймовірностей.

Важко встановити, хто вперше поставив питання, нехай і в недосконалій формі, про можливість кількісного виміру можливості появи випадкової події. Ясно тільки, що більш-менш задовільну відповідь на це питання зажадав великого часу і значних зусиль видатних дослідників цілого ряду поколінь.

Зазвичай вважають, що теорія ймовірностей виникла в середині XVII століття, причому її появу пов'язують з іменами П. Ферма (1601-1665), Б. Паскаля (1623-1662) і Х.Гюйгенса (1629-1695). У роботах цих вчених в зародковому вигляді фігурували поняття ймовірності випадкової події і математичного очікування випадкової величини. Відправним пунктом досліджень були завдання, пов'язані з азартними іграми, особливо іграми в кістки, оскільки при їх вивченні можна обмежуватися простими і зрозумілими математичними моделями. Однак вчені розуміли важливість нових понять, наприклад, Гюйгенс в творі "Про розрахунки при грі в кістки" писав: "... думаю, при уважному вивченні предмета читач помітить, що має справу не тільки з грою, але що тут закладаються основи дуже цікавою і глибокою теорії".

Одним із завдань, що дали початок теорії ймовірностей, є знаменитий парадокс гри в кості, дозволений ще в "Книзі про гру в кості" Д. Кардано (1501-1576), яка вийшла лише 1663 р

Правильна гральна кістка при киданні з рівними шансами падає на будь-яку з граней 1, 2, 3, 4, 5, 6. У разі кидання двох кісток сума випали чисел укладена між 2 і 12. Як 9, так і 10 з чисел 1, 2, ..., 6 можна отримати двома різними способами: 9 = 3 + 6 = або 9 = 4 + 5 і 10 = 4 + 6 або 10 = 5 + 5. У задачі стремено кістками і 9, і 10 виходять шістьма способами. Чому тоді 9 з'являється частіше, коли кидають дві кістки, а 10 - коли кидають три?

Свого часу це завдання вважали дуже важкою. Часто і зараз забувають про необхідність урахування порядку випадання кісток. У разі двох кісток 9 і 10 можуть вийти наступним чином: = 3 + 6, або 9 = 6 + 3, або 9 = 4 + 5, або = 5 + 4 і 10 = 4 + 6, або 10 = 6 + 4, або 10 = 5 + 5. Це означає, що при двох кістках 9 можна "викинути" чотирма способами, а 10 - лише трьома. Отже, тут шанси отримати 9 краще. У разі трьох кісток ситуація змінюється на протилежну: 9 можна "викинути" 25 способами, а 10 - вже 26 способами. Тому 10 виходить частіше, ніж 9.

Значний вплив на розвиток теорії ймовірностей надали Д. Бернуллі (1654-1705), А. Муавр (1667-1754), Т. Байес (1702-1763), П. Лаплас (1749-1827), К. Гаусс (1777-1855), С. Пуассон (1781-1840) .

наприклад, Д. Бернуллі належить перший доказ одного з найважливіших положень теорії ймовірностей - так званого "закону великих чисел". Теорема, яку він довів, встановлює зв'язок між ймовірністю події і частотою його появи (при досить великому числі дослідів можна з практичної вірогідністю очікувати як завгодно близької збігу частоти з ймовірністю). Розглянемо приклад кидання монети, в якому ймовірність появи "герба" ​​і "написи" однакова і дорівнює 1/2. При десяти киданнях поява десяти "гербів" або десяти "написів" дуже малоймовірно. Але і стверджувати, що "герб" випаде рівно 5 разів, немає достатніх підстав. Більш того, стверджуючи, що "герб" випаде 4, 5 або 6 разів, ми ще досить сильно ризикували б помилитися. Але при ста киданнях монети можна з достатньою впевненістю говорити, що число випали "гербів" буде лежати між 40 і 60.

Розвиток теорії ймовірностей тісно пов'язане з традиціями і досягненнями російської науки. Фундаментальні результати були отримані П. Л. Чебишева (1821-1894), А. М. Ляпуновим (1857-1918), пізніше великий вклад в її розвиток внесли Е. Е. Слуцький (1903-1987) і ряд інших.

Світ є закономірний рух матерії, що визначає загальну взаємопов'язаність явищ, внутрішню зчіплюваність причин і наслідків, яка виявляється в тому, що в даних умовах необхідно настає такий-то подія, а не інше. І все ж, не що не відбувається без втручання випадковості, що виникає під впливом непостійних причинних зв'язків, що змінюють хід явища при його повторенні. Численність і переважання таких впливів створюють "ефект випадковості" - складну, всеосяжну закономірність "прихованої зумовленості". Так виникає і, отже, існують випадкові явища - сукупності непередбачуваних випадкових явищ.

Це означає, що існують специфічні закономірності, що управляють однорідними масами випадкових подій.

Відкрити закономірність в хаосі подій, знайти гармонію в стихії невизначеності, багатопричинне і теж "алгеброю повірити" - ось захоплюючий і сміливий задум науки про випадковий.

Для вирішення завдань, що виникають при вивченні маси випадкових явищ, треба було створення спеціальних методів, що дозволяють глибше аналізувати явища з урахуванням властивих їм елементів випадковості. Виникла і розгалузилася "математика випадкового" - наука, яку потім назвали теорією ймовірності.

Теорія ймовірностей розкриває об'єктивні закономірності, притаманні масовим явищам. Її методи не дають можливості передбачити результат окремого випадкового явища, але дозволяють передбачити середній сумарний результат маси однорідних випадкових явищ. Отже, знаючи закони, що керують масами випадкових явищ, можна добиватися в разі необхідності цілеспрямованої зміни ходу випадкових явищ, їх контролювання, зменшення, а якщо потрібно, то збільшення їх впливу на практику.

Так як поняття ймовірності існує в багатьох науках від фізики до біології, від астрономії до економіки, від медицини до мікросвіту, то обмовлю відразу, що в даному електронному підручнику йдеться про математичної теорії ймовірностей.

Математична ймовірність - числова характеристика ступеня можливості появи якої-небудь певної події в тих чи інших певних, які можуть повторюватися необмежену кількість разів умовах, т. Е. Характеристика об'єктивно існуючої зв'язку між цими умовами і подією.

Математична ймовірність є вираженням якісно своєрідною зв'язку між випадковим і необхідним. При викладі теорії ймовірностей формулюються у вигляді аксіом ті властивості ймовірності, які на даному етапі розвитку науки необхідні для її розвитку. Однак ні ці аксіоми, ні класичний підхід до ймовірності, ні статистичний підхід не можуть дати вичерпне визначення реального змісту поняття ймовірності, вони є лише відомими наближеннями до все більш повного його розкриття. Далеко не всяка подія, настання якого при заданих умовах не є однозначно певним має при цьому комплексі умов визначену ймовірність. Припущення, що за даних умов для даної події ймовірність, т. Е. Цілком певна нормальна частка числа появ даної події при великому числі повторень даних умов, існує, є гіпотезою, яка в кожному окремому питанні вимагає спеціальної перевірки або обгрунтування. Наприклад, має сенс говорити про ймовірність попадання в ціль заданих розмірів з заданої відстані з рушниці відомого зразка стрільцем, викликаним наугад з певного військового підрозділу. Однак було б безглуздо говорити про ймовірність попадання в ціль, якщо про умови стрілянини нічого не відомо.