Матриця, її історія і застосування

1. Матриця, її історія і застосування

розділи: Математика

Матриця, її історія і застосування

Термін «матриця» має багато значень. Наприклад, в математиці матрицею називається система елементів, що має вигляд прямокутної таблиці, в програмуванні матриця - це двовимірний масив, в електроніці - набір провідників, які можна замкнути в точках їх перетину. Фішки також мають безпосереднє відношення до матриці. Фішки для покеру виготовляються з високоякісного композиційного матеріалу, найчастіше з металевою серцевиною. У свою чергу композиційний матеріал або композит має матрицю і включені в неї армуючі елементи (виняток становлять шаруваті композити).
Матриця в фотографії - це інтегральна мікросхема (аналогова або цифро-аналогова), яка складається з фотодіодів (світлочутливих елементів). Завдяки світлочутливої ​​матриці відбувається перетворення спроектованого на неї оптичного зображення в електричний сигнал аналогового типу, а при наявності в складі матриці АЦП, то перетворення відбувається в потік цифрових даних.
Матриця - основний елемент цифрових фотоапаратів, всіх сучасних відео- та телекамер, фотокамер, вбудованих в мобільний телефон і системи відеоспостереження.

Основне значення термін «матриця» має в математиці.

Матриця - математичний об'єкт, що записується у вигляді прямокутної таблиці елементів кільця або поля (наприклад, цілих або комплексних чисел), яка являє собою сукупність рядків і стовпців, на перетині яких знаходяться її елементи. Кількість рядків і стовпців матриці задають розмір матриці. Хоча історично розглядалися, наприклад, трикутні матриці, в даний час говорять виключно про матрицях прямокутної форми, так як вони є найбільш зручними і загальними.

Вперше матриці згадувалися ще в стародавньому Китаї, називаючись тоді «чарівним квадратом». Основним застосуванням матриць було рішення лінійних рівнянь. Так само, чарівні квадрати були відомі трохи пізніше у арабських математиків, приблизно тоді з'явився принцип складання матриць. Після розвитку теорії визначників в кінці 17-го століття, Габріель Крамер почав розробляти свою теорію в 18-му столітті і опублікував «правило Крамера» в 1751 році. Приблизно в цьому ж проміжку часу з'явився «метод Гаусса». Теорія матриць почала своє існування в середині XIX століття в роботах Вільяма Гамільтона і Артура Келі. Фундаментальні результати в теорії матриць належать Вейерштрасу, Жорданія, Фробеніуса. Термін «матриця» ввів Джеймс Сильвестр в 1850 р

Матриці широко застосовуються в математиці для компактного запису систем лінійних алгебраїчних або диференціальних рівнянь. В цьому випадку, кількість рядків матриці відповідає числу рівнянь, а кількість стовпців - кількості невідомих. В результаті рішення систем лінійних рівнянь зводиться до операцій над матрицями.

Матриці допускають такі операції алгебри:

• складання матриць, що мають один і той же розмір;
• множення матриць відповідного розміру (матрицю, що має nстолбцов, можна помножити праворуч на матрицю, що має nстрок);
• множення матриці на елемент основного кільця або поля (т. е. скаляр).

Матриця - безліч чисел, що утворюють прямокутну таблицю, яка містить m - рядків і n - стовпців. Для позначення матриці використовується напис:

А = ,

аij, де i - номер рядка, j - номер стовпця

Далі розглянемо види матриць.

Матриці С і D мають розміри 3х3 і 2х2. У тому випадку, коли кількість рядків матриці дорівнює кількості її стовпців, матриця називається квадратної. Значить матриця C - квадратна матриця третього порядку, а матриця D - квадратна матриця другого порядку.

С = ; D = .

Матриця, яка містить тільки один рядок або один стовпець називається вектором. У таких матрицях можна виділити вектор-рядок і вектор-стовпець. Так, матриця K - це вектор-рядок, а матриця F - вектор-стовпець.

K = ; F = .

Квадратна матриця, у якої в головній діагоналі стоять ненульові елементи, а всі інші - нулі називається діагональною матрицею. Матриця L - діагональна матриця третього порядку. Якщо ненульові елементи рівні тільки одиницям, то це одинична матриця, вона завжди позначається буквою Е. В нашому випадку матриця Е - теж одинична матриця третього порядку.

L = E = .

Якщо всі елементи матриці нулі, то це нульова матриця. Наприклад, матриця V - нульова матриця третього порядку.

V = .

Якщо в даній матриці поміняти рядки і стовпці місцями, то вийде транспонована матриця даної. Наприклад, дана матриця М, кожен рядок цієї матриці перенесемо в відповідний стовпець матриці, що стоїть на малюнку поруч. Друга матриця - це транспонована матриця матриці М.

До середини XIX в. матриці стали самостійними об'єктами математичних досліджень. До цього часу були сформульовані правила додавання і множення матриць. Основну роль в їх розробці зіграли роботи Гамільтона, Келі та Сильвестра (JJSylvester, 1814-1897). Сучасне позначення матриці запропонував Келі в 1841 році. Дослідження Вейєрштрасса (K.Th.W.Weierstrass, 1815-1897) і Фробениуса (FGL Frobenius, 1849-1917) далеко просунули теорію матриць, збагативши її новим змістом.

Але існує ще особливий різновид матриць, звана магічним квадратом. Магічний квадрат - квадратна таблиця з цілих чисел, в якій суми чисел вздовж будь-якого рядка, будь-якого стовпця і будь-який з двох головних діагоналей дорівнюють одному і тому ж числу.

Магічний квадрат - давньокитайського походження. Згідно з легендою, за часів правління імператора Ю (бл. 2200 до н.е.) з вод Хуанхе (Жовтої ріки) спливла священна черепаха, на панцирі якої були написані таємничі ієрогліфи і ці знаки відомі під назвою лошу і рівносильні магічного квадрату. У 11 ст. про магічні квадратах дізналися в Індії, а потім в Японії, де в 16 ст. магічним квадратах була присвячена велика література. Європейців з магічними квадратами познайомив в 15 в. візантійський письменник Е.Мосхопулос. Першим квадратом, придуманим європейцем, вважається квадрат А.Дюрера зображений на його знаменитій гравюрі Меланхолія 1. Дата створення гравюри (1514) вказана числами, що стоять в двох центральних клітинах нижнього рядка. Магічним квадратах приписували різні містичні властивості. У 16 ст. Корнелій Генріх Агріппа побудував квадрати 3-го, 4-го, 5-го, 6-го, 7-го, 8-го та 9-го порядків, які були пов'язані з астрологією 7 планет. Існувало повір'я, що вигравіруваний на сріблі магічний квадрат захищає від чуми. Навіть сьогодні серед атрибутів європейських віщунів можна побачити магічні квадрати.

У 19 і 20 ст. інтерес до магічних квадратах спалахнув з новою силою. Їх стали досліджувати за допомогою методів вищої алгебри та операційного числення.

Магічні квадрати непарного порядку можна побудувати за допомогою методу французького геометра 17 в. А. де Лалубер. Розглянемо цей метод на прикладі квадрата 5-го порядку. Число 1 поміщається в центральну клітку верхнього рядка. Всі натуральні числа розташовуються в природному порядку циклічно знизу вгору в клітинах діагоналей справа наліво. Дійшовши до верхнього краю квадрата (як у випадку числа 1), продовжуємо заповнювати діагональ, що починається від нижньої клітини у наступній колонці. Дійшовши до правого краю квадрата (число 3), продовжуємо заповнювати діагональ, що йде від лівої клітини рядком вище. Дійшовши до заповненої клітини (число 5) або кута (число 15), траєкторія спускається на одну клітку вниз, після чого процес заповнення триває.

Де ще застосовуються матриці?

Таблиця множення - це твір матриць (1,2,3,4,5,6,7,8,9) Т × (1,2,3,4,5,6,7,8,9).

У фізиці та інших прикладних науках матриці - є засобом записи даних і їх перетворення. У програмуванні - в написанні програм. Вони ще називаються масивами. Широко застосування і в техніці. Наприклад, будь-яка картинка на екрані - це двовимірна матриця, елементами якої є кольору точок.

У психології розуміння терміна схоже з даним терміном в математиці, але натомість математичних об'єктів маються на увазі якісь "психологічні об'єкти" - наприклад, тести.

Крім того, матриці має широке застосування в економіці, біології, хімії та навіть в маркетингу.

Також автори знайшли абстрактну модель - теорію одружень в первісному суспільстві, де за допомогою матриць були показані дозволені варіанти шлюбів для представників і навіть нащадків того чи іншого племені, що стало свідченням різнопланового застосування матриць.

Тепер докладніше зупинимося на деяких областях застосування матриць.

Розглянемо теорію одружень, про яку вже згадувалося.

У деяких первісних суспільствах існують суворі правила щодо того, в яких випадках допустимі шлюби. Ці правила спрямовані на запобігання шлюбів між занадто близькими родичами.

Ці правила допускають точну математичну формулювання в термінах «p-матриць». Одним з перших виклав ці правила у вигляді аксіом Андре Вейль.

Правила одруження характеризуються такими аксіомами:

• Аксіома 1: кожному члену суспільства приписується певний шлюбний тип.
• Аксіома 2: двом індивідуумам дозволяється одружуватися тоді і тільки тоді, коли вони належать до одного і того ж шлюбним типу.
• Аксіома 3: тип індивідуума визначається підлогою індивідуума і типом його батьків.
• Аксіома 4: два хлопчика (або дві дівчинки), батьки яких належать до різних типів, самі належать до різних типів.
• Аксіома 5: правила, дозволяти чи не дозволяти чоловікові одружитися зі своєю родичкою, залежать тільки від виду спорідненості. Зокрема, чоловікові не дозволяється одружуватися на своїй сестрі.
• Аксіома 6: для будь-яких двох індивідуумів можна вказати таких їхніх нащадків, яким дозволяється вступати в шлюб.

З аксіом випливає, що потрібно задати залежність між типом батьків і типами синів і дочок.

Для встановлення відносини спорідненості користувалися такими позначеннями:

Ось приклади видів відносин:

Дані схеми далі об'єднуються у великі матриці, де умовні позначення перетворюються в числа. За допомогою таких матриць зручно бачити кровну спорідненість в декількох поколіннях.

Поняття матриці і заснований на ньому розділ математики - матрична алгебра - мають надзвичайно важливе значення для економістів. Пояснюється це тим, що значна частина математичних моделей економічних об'єктів і процесів записується в досить простий, а головне - компактної матричної формі.

За допомогою матриць зручно записувати деякі економічні залежності.

Наприклад, розглянемо таблицю розподілу ресурсів по окремих галузях економіки (ум. Од.):

РесурсиГалузі економікиПромисловістьСільське господарство

Електроенергія 5,3 4,1 Трудові ресурси 2,8 2,1 Водні ресурси 4,8 5,1

Дана таблиця може бути записана в компактній формі у вигляді матриці розподілу ресурсів по галузям:

А =

В даному записі, наприклад, матричний елемент = 5,3 показує, скільки електроенергії споживає промисловість, а елемент = 2,1 - скільки трудових ресурсів споживає сільське господарство.

Далі розглянемо застосування матриць в психології.

Прогресивні матриці Равена- тест на наочне і в той же час абстрактне мислення за аналогією (тест інтелекту), розроблений англ. психологом Дж. Равеном (1938).

Кожне завдання складається з 2 частин: основного малюнка (будь-якого геометричного візерунка) з пропуском в правому нижньому кутку і набору з 6 або 8 фрагментів, які перебувають під основним малюнком. З цих фрагментів потрібно вибрати один, який, будучи поставленим на місце пробілу, точно підходив би до малюнка в цілому. Прогресивні матриці Равена поділяються на 5 серій по 12 матриць в кожній. Завдяки збільшенню числа елементів матриць і ускладнення принципів з взаємовідносин завдання поступово ускладнюються як в межах однієї серії, так і при переході від серії до серії. Є також полегшений варіант прогресивних матриць Равена, призначений для дослідження дітей і дорослих з порушеннями психічної діяльності.

На малюнку показані приклади таких матриць:

Ми розглянули основні області застосування матриць. З'ясувалося, що цей термін вживається не тільки в математиці, але і в інших науках, таких, як інформатика, біологія, хімія, фізика, психологія, економіка і т. Д. Крім того, матриці можуть бути практично застосовні, наприклад, як це робили в первісному суспільстві для визначення дозволених варіантів шлюбу.

Матриця- (нім., Matrize, від лат. Matrix матка). 1) в ливарному виробництві: мідна форма для відливання літер, а також монет. 2) в друкарському справі: паперова форма для відливання стереотипу.

За допомогою матриць можна вирішувати системи рівнянь, в них зручно представляти будь-які дані.

Таким чином, ми прийшли до висновку, що матриці широко застосовувалися і застосовуються до цих пір.

література:

1. Красс М.С., Чуприна Б.П .; Математика, Питер, 2005.
2. Солодовников А.С., Бабайцев В.А., Браїлів А.В., Шандра І.Г .; Фінанси і статистика, 2000..
3. Кремер Н.Ш .; ЮНИТИ-ДАНА, Вища математика для економістів, 3-е видання, 2007.
4. Венгер А.Л. - Психологічні рисункові тести: Ілюстроване керівництво.
5. Енциклопедичний словник юного математика. - М .: Педагогіка, 1989.

презентація .

27.07.2013