Неевклидова геометрія Лобачевського
- геометрія Лобачевського
- геометрія Лобачевського
- Історія
- Спроби докази п'ятого постулату
- Відправним пунктом геометрії Лобачевського послужив V постулат Евкліда -
- Німецький математик Клавіус (+1574)
- При цих спробах докази п'ятого постулату математики вводили
- Створення неевклідової геометрії
- Лобачевський в роботі «Про основи геометрії» (1829), першої його друкованої
- Цей твір містить в собі підстави тієї геометрії, яка повинна
- В результаті Лобачевський виступив як перший найбільш яскравий і
- Затвердження геометрії Лобачевського
- Лобачевський помер в 1856 році
- моделі
- Італійський математик Е
Слайди з презентації «Неевклидова геометрія Лобачевського» до уроку геометрії на тему «Історія геометрії»
Автор: Габель Сергій 4 Б клас. Щоб збільшити слайд, натисніть на його ескіз. Щоб використовувати презентацію на уроці, скачайте файл «Неевклидова геометрія Лобачевского.ppt» безкоштовно в zip-архіві розміром 48 КБ.
завантажити презентацію
зміст презентації «Неевклидова геометрія Лобачевского.ppt»
http://900igr.net/prezentatsii/geometrija/Neevklidova-geometrija-Lobachevskogo/Neevklidova-geometrija-Lobachevskogo.html
№ Слайд Текст 1 
геометрія Лобачевського
Підготував учень 4 класу «Б» Габель Сергій
2 
геометрія Лобачевського
Геометрія Лобачевського (гіперболічна геометрія) - одна з неевклідових геометрій, геометрична теорія, заснована на тих же основних посилках, що і звичайна евклідова геометрія, за винятком аксіоми про паралельних, яка замінюється на аксіому про паралельні Лобачевського. Евклидова аксіома про паралельних (точніше, одне з еквівалентних їй тверджень) говорить: Через точку, що не лежить на даній прямій, проходить не більше однієї прямої, що лежить з даною прямою в одній площині і не перетинає її. В геометрії Лобачевського, замість неї приймається наступна аксіома: Через точку, що не лежить на даній прямій, проходять принаймні дві прямі, що лежать з даною прямою в одній площині і не перетинають її. Широко поширена помилка, що в геометрії Лобачевського паралельні прямі перетинаються. Геометрія Лобачевського має обширні вживання як в математиці, так і в фізиці. Історичне і філософське її значення полягає в тому, що її побудовою Лобачевський показав можливість геометрії, відмінної від евклідової, що знаменувало нову епоху в розвитку геометрії, математики та науки взагалі.
3 
Історія
4 
Спроби докази п'ятого постулату
5 
Відправним пунктом геометрії Лобачевського послужив V постулат Евкліда -
Відправним пунктом геометрії Лобачевського послужив V постулат Евкліда - аксіома, еквівалентна аксіомі про паралельних. Він входив до списку постулатів в «Засадах» Евкліда. Відносна складність і неінтуітівнимі його формулювання викликала відчуття його вторинності і породжувала спроби вивести його як теорему з інших постулатів Евкліда. Серед багатьох намагалися довести п'ятий постулат були, зокрема, такі великі вчені. Давньогрецькі математики Птолемей (II ст.) І Прокл (V ст.) (Грунтувався на припущенні про кінцівки відстані між двома паралельними). Ібн аль-Хайсам з Іраку (кінець X - початок XI ст.) (Грунтувався на припущенні, що кінець рухомого перпендикуляра до прямої описує пряму лінію). Іранські математики Омар Хайям (2-я половина XI - початок XII ст.) І Насир ад-Дін ат-Тусі (XIII в.) (Грунтувалися на припущенні, що дві сходяться прямі не можуть при продовженні стати розбіжними без перетину). Першу в Європі відому нам спробу докази аксіоми паралельності Евкліда запропонував жив в Провансі (Франція) Герсонід (він же Леві бен Гершем, XIV століття). Його доказ спиралося на твердження про існування прямокутника.
6 
Німецький математик Клавіус (+1574)
Німецький математик Клавіус (+1574). Італійські математики Катальді (вперше в 1603 році надрукував роботу, цілком присвячену питанню про паралельних). Бореллі (одна тисяча шістсот п'ятьдесят-вісім), Дж. Вітале (1680). Англійський математик Валліс (1 663, опубліковано в 1693) (грунтувався на припущенні, що для будь-якої фігури існує їй подібна, але не рівна фігура). Французький математик Лежандр (1800) (грунтувався на припущенні, що через кожну точку всередині гострого кута можна провести пряму, що перетинає обидві сторони кута, і в нього також були інші спроби докази).
7 
При цих спробах докази п'ятого постулату математики вводили
(Явно або неявно) якийсь новий твердження, що здавалося їм більш очевидним. Були зроблені спроби використовувати доказ від протилежного: італійський математик Саккери (1733) (сформулювавши суперечить постулату твердження, він вивів ряд наслідків і, помилково визнавши частину з них суперечливими, він вважав постулат доведеним), німецький математик Ламберт (близько 1 766, опубліковано в 1786) (провівши дослідження, він визнав, що не зміг виявити в побудованій ним системі протиріччя). Нарешті, стало виникати розуміння про те, що можлива побудова теорії, заснованої на протилежному постулаті: німецькі математики Швейкарт (1818) і Таурінус (1825) (однак вони не усвідомили, що така теорія буде логічно настільки ж стрункою).
8 
Створення неевклідової геометрії
9 
Лобачевський в роботі «Про основи геометрії» (1829), першої його друкованої
роботі по неевклідової геометрії, ясно заявив, що V постулат не може бути доведений на основі інших посилок евклідової геометрії, і що припущення постулату, протилежного постулату Евкліда, дозволяє побудувати геометрію настільки ж змістовну, як і евклидова, і вільну від протиріч. Одночасно і незалежно до аналогічних висновків дійшов Янош Бойяи, а Карл Фрідріх Гаус прийшов до таких висновків ще раніше. Однак праці Бойяи залучили уваги, і він незабаром залишив цю тему, а Гаусс взагалі утримувався від публікацій, і про його погляди можна судити лише по декілька листів і щоденникових записів. Наприклад, в пісьме1846 року астроному Г. Х. Шумахеру Гаусс так відгукнувся про роботу Лобачевського:
10 
Цей твір містить в собі підстави тієї геометрії, яка повинна
була б мати місце і при тому становила б строго послідовне ціле, якби евклідова геометрія не була б справжньою ... Лобачевський називає її «уявною геометрією»; Ви знаєте, що вже 54 роки (з 1792 р) я поділяю ті ж погляди з деяких розвитком їх, про який не хочу тут згадувати; таким чином, я не знайшов для себе в творі Лобачевського нічого фактично нового. Але в розвитку предмета автор слідував не тим шляхом, по якому йшов я сам; воно виконано Лобачевским майстерно в істинно геометричному дусі. Я вважаю себе зобов'язаним звернути Вашу увагу на цей твір, яке, напевно, принесе Вам абсолютно виняткову насолоду. [3].
11 
В результаті Лобачевський виступив як перший найбільш яскравий і
послідовний пропагандист нової геометрії. Хоча геометрія Лобачевського розвивалася як умоглядна теорія, і сам Лобачевський називав її «уявною геометрією», проте саме він вперше відкрито запропонував її не як гру розуму, а як можливу і корисну теорію просторових відносин. Однак доказ її несуперечності було дано пізніше, коли були вказані її інтерпретації (моделі).
12 
Затвердження геометрії Лобачевського
13 
Лобачевський помер в 1856 році
Лобачевський помер в 1856 році. Через кілька років було опубліковано листування Гаусса, в тому числі кілька захоплених відгуків про геометрію Лобачевського, і це привернуло увагу до праць Лобачевського. З'являються переклади їх на французьку та італійську мови, коментарі видатних геометрів. Публікується і праця Бойяи. У 1868 році виходить стаття Е. Бельтрамі про інтерпретації геометрії Лобачевського. Бельтрами визначив метрику площині Лобачевського і довів, що вона має всюди постійну негативну кривизну. Така поверхня тоді вже була відома - це псевдосфера Міндінг. Бельтрами зробив висновок, що локально площину Лобачевського изометрична ділянці псевдосфери (див. Нижче). Остаточно несуперечливість геометрії Лобачевського була доведена в 1871 році, після появи моделі Клейна. Вейерштрасс присвячує геометрії Лобачевського спеціальний семінар в Берлінському університеті (1870). Казанське фізико-математичне товариство організовує видання повного зібрання творів Лобачевського, а в 1893 році століття російського математика відзначається в міжнародному масштабі.
14 
моделі
15 
Італійський математик Е
Італійський математик Е. Бельтрамі в 1868 році помітив, що геометрія на шматку площині Лобачевського збігається з геометрією на поверхнях постійної негативної кривизни, простий приклад яких представляє псевдосфера. Якщо точкам і прямим на кінцевому шматку площині Лобачевського зіставляти точки і найкоротші лінії (геодезичні) на псевдосфері і руху в площині Лобачевського зіставляти переміщення фігури по псевдосфері з зігнутися, тобто деформацією, що зберігає довжини, то всякій теоремі геометрії Лобачевського відповідатиме факт, що має місце на псевдосфері. При цьому довжини, кути, площі розуміються в сенсі природного виміру їх на псевдосфері. Однак тут дається тільки локальна інтерпретація геометрії, тобто на обмеженій ділянці, а не на всій площині Лобачевського.
16 