Статьи

НОУ ІНТУЇТ | лекція | Модульна арифметика

  1. інверсії Коли ми працюємо в модульної арифметики, нам часто потрібно знайти операцію, яка дозволяє...
  2. мультиплікативна інверсія
  3. Додавання і множення таблиць
  4. Різні безлічі для додавання і множення
  5. Ще два безлічі

інверсії

Коли ми працюємо в модульної арифметики, нам часто потрібно знайти операцію, яка дозволяє обчислити величину, зворотну заданому числу. Ми зазвичай шукаємо аддитивную інверсію (оператор, зворотний додаванню) або мультипликативную інверсію (оператор, зворотний множенню).

аддитивна інверсія

В Zn два числа a і b адитивно інверсний один одному, якщо b = n - a. наприклад,

В Zn аддитивная інверсія числа a може бути обчислена як b = n - a. Наприклад, аддитивная інверсія 4 в Z10 дорівнює 10 - 4 = 6.

В модульної арифметики кожне ціле число має адитивну інверсію. Сума цілого числа і його адитивної інверсії порівнянна з 0 по модулю n.

Зверніть увагу, що в модульної арифметики кожне число має адитивну інверсію, і ця інверсія унікальна; кожне число має одну і тільки одну аддитивную інверсію. Однак інверсія числа може бути безпосередньо тим же самим числом.

приклад 2.21

Знайдіть всі взаємно зворотні пари по додаванню в Z10.

Рішення

Дано шість пар адитивних інверсій - (0, 0), (1, 9), (2, 8), (3, 7), (4, 6) і (5, 5). У цьому списку 0 - інверсія самому собі; так само і 5. Зверніть увагу: адитивні інверсії назад один одному; якщо 4 - адитивна інверсія 6, тоді 6 - також аддитивная інверсія числа 4.

мультиплікативна інверсія

В Zn два числа a і b мультиплікативно інверсний один одному, якщо

Наприклад, якщо модуль дорівнює 10, то мультипликативная інверсія 3 є 7. Іншими словами, ми маємо Наприклад, якщо модуль дорівнює 10, то мультипликативная інверсія 3 є 7 .

В модульної арифметики ціле число може або не може мати мультипликативную інверсію. Ціле число і його мультипликативная інверсія порівнянні з 1 по модулю n.

Може бути доведено, що a має мультипликативную інверсію в Zn, якщо тільки НОД (n, a) = 1. У цьому випадку говорять, що a і n взаємно прості.

приклад 2.22

Знайти мультипликативную інверсію 8 в Z10.

Рішення

Мультиплікативна інверсія не існує, тому що Мультиплікативна інверсія не існує, тому що . Іншими словами, ми не можемо знайти число між 0 і 9, таке, що при множенні на 8 результат можна порівняти з 1 по mod 10.

приклад 2.23

Знайти всі мультиплікативні інверсії в Z10.

Рішення

Є тільки три пари, що задовольняють умовам існування мультипликативной інверсії: (1, 1), (3, 7) і (9, 9). Числа 0, 2, 4, 5, 6 і 8 не мають мультипликативной інверсії.

Ми можемо перевірити, що

(1 x 1) mod 10 = 1 (3 x 7) mod 10 = 1 (9 x 9) mod 10 = 1

приклад 2.24

Знайти всі мультиплікативні зворотні пари в Z11.

Рішення

Ми маємо такі пари: (1, 1), (2, 6), (3, 4), (5, 9), (7, 8) і (10, 10). При переході від Z10 до Z11 число пар збільшується. При Z11 НСД (11, a) = 1 (взаємно прості) для всіх значень a, крім 0. Це означає, що всі цілі числа від 1 до 10 мають мультиплікативний інверсії.

Ціле число a в Zn має мультипликативную інверсію тоді і тільки тоді, якщо НСД (n, a) = 1 (mod n)

Розширений алгоритм Евкліда, який ми обговорювали раніше в цій лекції, може знайти мультипликативную інверсію b в Zn, коли дані n і b і інверсія існує. Для цього нам треба замінити перший ціле число a на n (модуль). Далі ми можемо стверджувати, що алгоритм може знайти s і t, такі, що Розширений алгоритм Евкліда, який ми обговорювали раніше в цій лекції, може знайти мультипликативную інверсію b в Zn, коли дані n і b і інверсія існує . Однак якщо мультипликативная інверсія b існує, НОД (n, b) повинен бути 1. Так що рівняння буде мати вигляд

(sxn) + (bxt) = 1

Тепер ми застосовуємо операції по модулю до обох сторін рівняння. Іншими словами, ми відображаємо кожну сторону до Zn. Тоді ми будемо мати

(Sxn + bxt) mod n = 1 mod n [(sxn) mod n] + [(bxt) mod n] = 1 mod n 0 + [(bxt) mod n] = 1 (bxt) mod n = 1 -> це означає, що t - це мультиплікативна інверсія b в Zn

Зверніть увагу, що Зверніть увагу, що   на третьому рядку - 0, тому що, якщо ми ділимо   , Приватне - s, а залишок - 0 на третьому рядку - 0, тому що, якщо ми ділимо , Приватне - s, а залишок - 0.

Розширений алгоритм Евкліда знаходить мультиплікативні інверсії b в Zn, коли дані n і b і НОД (n, b) = 1. Мультиплікативна інверсія b - це значення t, відображене в Zn.

малюнок 2.15 показує, як ми знаходимо мультипликативную інверсію числа, використовуючи розширений алгоритм Евкліда.


Мал.2.15.

Застосування розширеного алгоритму Евкліда для пошуку мультипликативной інверсії

приклад 2.25

Знайти мультипликативную інверсію 11 в Z26.

Рішення

Ми використовуємо таблицю, аналогічну однією з тих, які ми вже застосовували перш за даних r1 = 26 і r2 = 11. Нас цікавить тільки значення t.

q r1 r2 r t1 t2 t 2 26 11 4 0 1 -2 2 11 4 3 1 -2 5 1 4 3 1 -2 5 -7 3 3 1 0 5 -7 26 1 0 -7 26

НСД (26, 11) = 1, що означає, що мультиплікативна інверсія 11 існує. Розширений алгоритм Евкліда дає t1 = (-7).

Мультиплікативна інверсія дорівнює (-7) mod 26 = 19. Іншими словами, 11 і 19 - мультиплікативна інверсія в Z26. Ми можемо бачити, що Мультиплікативна інверсія дорівнює (-7) mod 26 = 19 .

приклад 2.26

Знайти мультипликативную інверсію 23 в Z100.

Рішення

Ми використовуємо таблицю, подібну до тієї, яку застосовували до цього при r1 = 100 і r2 = 23. Нас цікавить тільки значення t.

q r1 r2 r t1 t2 t 4 100 23 8 0 1 -4 2 23 8 7 1 -4 19 1 8 7 1 -4 9 -13 7 7 1 0 9 -13 100 1 0 -13 100

НСД (100, 23) = 1, що означає, що інверсія 23 існує. Розширений Евкліда алгоритм дає t1 = -13. Інверсія - (-13) mod 100 = 87. Іншими словами, 13 і 87 - мультиплікативні інверсії в Z100. Ми можемо бачити, що НСД (100, 23) = 1, що означає, що інверсія 23 існує .

приклад 2.27

Знайти мультипликативную інверсію 12 в Z26.

Рішення

Ми використовуємо таблицю, подібну до тієї, яку ми застосовували раніше при r1 = 26 і r2 = 12.

q r1 r2 r t1 t2 t 2 26 12 2 0 1 6 12 2 0 1 -2 2 0 -2 13

, Що означає отсутвствіе для числа 12 мультипликативной інверсії в Z26 , Що означає отсутвствіе для числа 12 мультипликативной інверсії в Z26

Додавання і множення таблиць

малюнок 2.16 показує дві таблиці для додавання і множення. При додаванні таблиць кожне ціле число має адитивну інверсію. Зворотні пари можуть бути знайдені, якщо результат їх складання - нуль. Ми маємо (0, 0), (1, 9), (2, 8), (3, 7), (4, 6) і (5, 5). При множенні таблиць ми отримуємо тільки три мультиплікативний пари (1, 1), (3, 7) і (9, 9). Пари можуть бути знайдені, коли результат множення дорівнює 1. Обидві таблиці симетричні по діагоналі, від лівої вершини до нижньої вершині справа. При цьому можна виявити властивості коммутативности для додавання і множення (a + b = b + a і малюнок 2 ). Таблиця додавання також показує, що кожен ряд або колонка може помінятися з іншим поруч або колонкою. Для таблиці множення це невірно.


Мал.2.16.

Таблиці додавання і множення для Z10

Різні безлічі для додавання і множення

У криптографії ми часто працюємо з інверсіями. Якщо відправник посилає ціле число (наприклад, ключ для шифрування слова), приймач застосовує інверсію цього цілого числа (наприклад, ключ декодування). Якщо ця дія (алгоритм шифрування / декодування) є складанням, безліч Zn може бути використано як безліч можливих ключів, тому що кожне ціле число в цій множині має адитивну інверсію. З іншого боку, якщо дія (алгоритм шифрування / декодування) - множення, Zn не може бути великою кількістю можливих ключів, тому що тільки деякі члени цієї множини мають мультипликативную інверсію. Нам потрібно інше безліч, яке є підмножиною Zn і включає в себе тільки цілі числа, і при цьому в Zn вони мають унікальну мультипликативную інверсію. Це безліч позначається Zn *. малюнок 2.17 показує деякі випадки двох множин. Зверніть увагу, що безліч Zn * може бути отримано з таблиці множення типу показаної на Мал. 2.16 .

Кожен член Zn має адитивну інверсію, але тільки деякі члени мають мультипликативную інверсію. Кожен член Zn * має мультипликативную інверсію, але тільки деякі члени безлічі мають адитивну інверсію.

Ми повинні використовувати Zn, коли необхідні адитивні інверсії; ми повинні використовувати Zn *, коли необхідні мультиплікативні інверсії.


Мал.2.17.

Деякі безлічі Zn і Zn *

Ще два безлічі

Криптографія часто використовує ще два безлічі: Zp, і Zp *. Модулі в цих двох множинах - прості числа. Прості числа будуть обговорюватися в наступних лекціях; поки можна сказати, що просте число має тільки два дільника: ціле число 1 і саме себе.

Безліч Zp - те ж саме, що і Zn, за винятком того, що n - просте число. Zp містить всі цілі числа від 0 до p - 1. Кожен елемент в Zp має адитивну інверсію; кожен елемент окрім 0 має мультипликативную інверсію.

Безліч Zp * - те ж саме, що Zn *, за винятком того, що Zp * містить всі цілі числа від 1 до p - 1. Кожен елемент в Zp має адитивну і мультипликативную інверсії. Zp * дуже хороший кандидат, коли ми потребуємо в безлічі, яке підтримує аддитивную і мультипликативную інверсії.

Нижче показані два безлічі, коли p = 13.

Z13 = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}, Z13 * = {1,2,3,4,5,6,7,8, 9,10,11,12},

Новости

Где купить переходник на объектив линк

Давно занимаюсь фотографией, разумеется, в работе требуются разные объективы. Но конструкция постоянно меняется. Для установки объективов на камеры нового поколения, типа EOS 5D markIII и других

Хорошее туристическое агентство

Много интересного можно найти и в своей стране, а не только за рубежом. Стоит только поискать, и вы с удивлением обнаружите очень много мест ничем не хуже разрекламированных мировых чудес, только рядом,

Где купить держатель для телефона в авто

Жизнь нас не ждет и все время увеличивает темпы своего ритма. В таком бешеном круговороте нельзя никуда опаздывать и нельзя ничего пропускать. Мобильный телефон - настоящий друг и помощник при такой

Увлекательные туры по Украине

Когда кто-то спрашивает, что может быть лучше гор? В привычку у людей вошёл ответ только горы. Мне хотелось бы поспорить с этим выражением, ведь есть не менее прекрасные реки! Особенно хорошо всю красоту

Новости грузии сегодня видео
Выбор медицинского оборудования на сегодняшний день очень велик. Однако я, когда покупал оборудование для своей небольшой частной клиники, остановил свой выбор на продукции компании Медаппарат стол

Ты одессит мишка
О песне: Одной из самых популярных песен времен Великой Отечественной войны была песня "Одессит Мишка" в исполнении Леонида Утесова. Устами этого Мишки было сказано то, о чем думали все, покидая родные

Актеры у которых есть оскар
Самыми обсуждаемыми персонами в марте 2014 г. стали актеры, получившие «Оскар». Список открыл Мэттью Макконахи, исполнивший Рона Вудруфа в «Далласском клубе покупателей». Фильм

Сегодня праздник у девчат видео
Давно хотел начать свой бизнес, уже надоело работать на дядю за копейки. Но каждый раз когда я собирался меня что то останавливало, то собственная лень, то боязнь чего то нового. Друг посоветовал начать

Одесса видео новости
Пришла зима, и остро стал вопрос отопления дачного домика. Естественно ни о каком централизованном отоплении речи быть не могло, пришлось искать альтернативные методы отопления. Прочитав миллион комментариев

Фотозона it
Состав: Филе куриное 600 гр Бедра куриные 400 гр Сало - 200 гр Чеснок - 6 зубчиков Вода - 50 мл Соль - 1 ч.л. Черный перец - по вкусу Натуральная оболочка - 1, 5 м 1. Сало нарезать кубиками 0, 5 см на