Основи алгебри / Правило переносу доданка

1. Доведення [ правити ]
2. Приклади, що ілюструють доказ [ правити ]
3. Для нерівностей [ правити ]

Матеріал з Вікіпідручника - відкритих книг для відкритого світу

При вирішенні і перетворення рівнянь часто виникає потреба перенести доданок з одного боку рівняння в іншу. Необхідно відзначити, що доданок може бути як зі знаком «плюс», так і зі знаком «мінус». Правило говорить, що при перенесенні доданка з однієї частини рівняння в іншу необхідно поміняти знак. Також правило працює і для нерівностей.

Перенесемо спочатку 5 x {\ displaystyle 5x} з лівої частини рівняння в праву:

2 = 7 x - 6 - 5 x {\ displaystyle 2 = 7x-6-5x} .

Тепер перенесемо число (-6) з правої частини в ліву:

2 + 6 = 7x-5x

Зауважте, знак плюс змінився на мінус, а знак мінус - на плюс. Причому неважливо, чи є переносний доданок числом, змінної або ж цілим виразом.

Перенесемо перший доданок в праву сторону рівняння. отримаємо:

- 4 + y = 3 x 2 (2 + 7 x) {\ displaystyle -4 + y = 3x ^ {2} (2 + 7x)}

Відзначимо, що в цьому прикладі складовою було ціле вираз - 3 x 2 (2 + 7 x) {\ displaystyle -3x ^ {2} (2 + 7x)} . При цьому не можна окремо переносити - 3 x 2 {\ displaystyle -3x ^ {2}} або 2 + 7 x {\ displaystyle 2 + 7x} , Оскільки це лише складові частини доданка. З тієї ж причини не можна переносити - 3 x 2 ⋅ 2 {\ displaystyle -3x ^ {2} \ cdot 2} або 7 x {\ displaystyle 7x} . Але можна розкрити дужки і отримати два доданків: - 3 x 2 ⋅ 2 {\ displaystyle -3x ^ {2} \ cdot 2} і - 3 x 2 ⋅ 7 x {\ displaystyle -3x ^ {2} \ cdot 7x} . Такі два доданків вже можна переносити окремо.

• Точно також можна перетворювати нерівності. наприклад:

7 x + 25> 14 {\ displaystyle 7x + 25> 14}

Перенесемо все числа в одну сторону. У підсумку маємо:

7 x> 14 - 25 {\ displaystyle 7x> 14-25} або 7 x> - 11 {\ displaystyle 7x> -11}

Доведення [ правити ]

Дві частини рівняння по визначенню рівні, тому можна відняти з обох частин рівняння однаковий вираз, і рівність залишиться вірним. По один бік знака «дорівнює» воно скоротиться з тим, що було. По інший бік рівності, вираз, яке ми відняли, з'явиться зі знаком «мінус».

Приклади, що ілюструють доказ [ правити ]

Для рівнянь [ правити ]

Візьмемо рівняння:

5 x + 2 = 7 x - 6 {\ displaystyle 5x + 2 = 7x-6}

Припустимо ми хочемо перенести всі ікси з лівої частини рівняння в праву. Віднімемо з обох частин 5 x {\ displaystyle 5x}

5 x + 2 = 7 x - 6 {\ displaystyle 5x + 2 = 7x-6}

Зліва 5 x {\ displaystyle 5x} скоротиться з - 5 x {\ displaystyle -5x} , І іксів не залишиться. Справа 7 x {\ displaystyle 7x} скоротиться з - 5 x {\ displaystyle -5x} , І залишиться 2 x {\ displaystyle 2x} :

2 = 2 x - 6 {\ displaystyle 2 = 2x-6 \;}

Тепер можна привести подібні доданки:

2 + 6 = 2 x {\ displaystyle 2 + 6 = 2x} 2 x = 8 {\ displaystyle 2x = 8} x = 4 {\ displaystyle x = 4}

Тепер потрібно перевірити, чи збігаються ліва і права частини рівняння. Замінимо невідому змінну результатом,:

5 * 4 + 2 = 7 * 4 - 6 {\ displaystyle 5 * 4 + 2 = 7 * 4-6} 22 = 22 {\ displaystyle 22 = 22}

Тотожність вірно.

Правило для рівнянь доведено ,,,,

Для нерівностей [ правити ]

Візьмемо нерівність:

5 x + 2> 7 x - 6 {\ displaystyle 5x + 2> 7x-6}

Припустимо, ми хочемо перенести всі ікси з лівої частини нерівності в праву. Віднімемо 5 x {\ displaystyle 5x} з обох частин. Зліва 5 x {\ displaystyle 5x} скоротиться з - 5 x {\ displaystyle -5x} , І іксів не залишиться. Справа 7 x {\ displaystyle 7x} скоротиться з - 5 x {\ displaystyle -5x} і залишиться 2 x {\ displaystyle 2x} :

2> 2 x - 6 {\ displaystyle 2> 2x-6 \;}

Тепер можна привести подібні доданки:

2 + 6> 2 x {\ displaystyle 2 + 6> 2x} 2 x <8 {\ displaystyle 2x <8} x <4 {\ displaystyle x <4}

Отже, 4 - корінь рівняння 5x + 2 = 7x-6. Так як для нього тотожність доведено, то і для нерівностей теж, за визначенням.