пляшка Кляйна
Пляшка Кляйна - це математична неоріентіруемая поверхню, в якій невиразні внутрішня і зовнішня сторони. Пляшка Кляйна вперше була описана в 1882 році німецьким математиком Феліксом Кляйном (Felix Klein). Ця поверхня тісно пов'язана з іншою загадковою поверхнею - стрічкою Мебіуса . Початкове назву пляшки Кляйна - "Klein Fla-e-che" (Fläche = поверхню) поверхню Кляйна. Однак, в назві слово Fläche було інтерпретовано як Fla-s-che (пляшка), і через домінування англійської мови утвердилося в математичній науці, і пізніше термін "пляшка Клянуся" також почали вживати і в Німеччині.
Уявімо собі пляшку з отвором в дні. Тепер подумки подовжити шийку пляшки, зігніть його в зворотному напрямку і направимо всередину пляшки крізь стінку, не торкаючись її (це неможливо зробити в тривимірному просторі), далі подовжити шийку до дна пляшки і з'єднаємо краю горлечка з краями отвору в дні пляшки. Справжня пляшка Кляйна в чотиривимірному просторі не перетинається сама з собою.
На відміну від реальних пляшок, поверхня Кляйна не має кордону, де б вона переривалася. На відміну від кулі або тора, муха, що повзе по поверхні пляшки Кляйна, може потрапити з зовнішньої сторони на внутрішню, не проходячи крізь поверхню.
Математика
Поверхня Кляйна у вигляді "фігури 8", показаної на малюнку справа, може бути представлена у вигляді системи рівнянь з параметрами, яка виглядає набагато простіше, ніж для класичної пляшки Кляйна.
У цьому випадку коло самопересеченія - це коло, що лежить в площині XY. Позитивна константа r задає радіус цієї окружності. Параметр u задає кут в площині XY, а v - позицію щодо початку координат.
Топологічно, пляшка Кляйна може бути визначена як квадрат [0,1] x [0,1] зі сторонами, які визначаються співвідношеннями (0, y) ~ (1, y) для 0 ≤ y ≤ 1 і (x, 0) ~ ( 1 x, 1) для 0 ≤ x ≤ 1, як показано на діаграмі зліва.
властивості
Якщо розсікти пляшку Кляйна на дві половинки вздовж площині симетрії, то вийдуть дві дзеркальних стрічки Мебіуса, одна - з розворотом впівоберта вправо, інша - з розворотом впівоберта вліво. Фактично, можливо розсікти пляшку Кляйна так, що вийде одна стрічка Мебіуса.
Інакше, пляшка Кляйна може бути представлена у вигляді двох стрічок Мебіуса, з'єднаних один з одним звичайної двосторонньої стрічкою. На малюнку нижче внутрішня поверхня цієї стрічки пофарбована білим кольором, а зовнішня - блакитним.
Пляшка Кляйна може бути створена з одного циліндра. Один з країв циліндра загинається в зворотну сторону, проходить крізь циліндр і склеюється з іншим краєм. Щоб зробити це склеювання, необхідно спотворити ширину циліндра. На малюнку нижче показано це перетворення. Для наочності зовнішня сторона циліндра пофарбована в білий колір, а внутрішня - в зелений.
Стаття створена за матеріалами Wikipedia і статті "Imaging maths - Inside the Klein bottle" by Konrad Polthier
Див. також Колекція пляшок Кляйна різноманітних видів .