САМА Найслабкішою непереможною КОМБІНАЦІЯ в покер | Наука і життя

  1. САМА Найслабкішою непереможною КОМБІНАЦІЯ в покер
  2. САМА Найслабкішою непереможною КОМБІНАЦІЯ в покер
  3. САМА Найслабкішою непереможною КОМБІНАЦІЯ в покер

САМА Найслабкішою непереможною КОМБІНАЦІЯ в покер

Існує безліч карткових ігор. І всі вони (за винятком найпримітивніших) вимагають хорошої пам'яті, знання основ математики і логічного мислення, тобто якостей, дуже корисних у багатьох життєвих ситуаціях, а не тільки за картковим столом. У фільмах нерідко зустрічаються сцени гри в покер. Зазвичай вони покликані продемонструвати психологічну перевагу позитивного героя, коли він на слабкій комбінації "заблефовивает" противника. Або ж показуються "багаті" шулерські можливості негативного героя. Однак в реальному житті існують випадки, коли за допомогою простих математичних міркувань можна гарантувати виграш, не вдаючись до вельми сумнівним способам гри. Розглянемо один з таких прикладів.

Багато хто вважає кросворди занадто важкою головоломкою, тому що відгадати слово їм не під силу. Але вписувати букви в клітини подобається.
Ч. Уезерелл. Етюди для програмістів

У сучасному варіанті покеру використовується "преферансная" колода з тридцяти двох карт. Невеликий її обсяг і відсутність джокерів знижують частку випадку і збільшують можливості логічного аналізу. Нагадаємо, що кожна з чотирьох мастей (піку, трефа, бубна, черва) містить наступні карти:

туз (А)> король (К)> дама (Д)> валет (В)> десятка (10)> дев'ятка (9)> вісімка (8)> сімка (7).

Тут і нижче позначення a> b означає, що a сильніше b. Масті рівноправні, позначають ся першою літерою назви, що стоїть перед позначенням карти. Наприклад: ПД - дама пік, Т7 - сімка треф, ЧА - туз черв'яків і т. Д.

Перерахуємо всі назви і старшинство комбінацій карт, які зустрічаються в покері.

Флеш-роял. Це п'ять карт однієї масті, що утворюють так звану "щільність". Усередині цього класу існує своя ієрархія

(А, К, Д, В, 10)> (К, Д, В, 10, 9)> (Д, В, 10, 9, 8)> (В, 10, 9, 8, 7)> (10 , 9, 8, 7, А).

(Ілюстрація 1)

Тут ліва - найсильніша комбінація - називається "флеш-роял Ас", а права, найбільш слабка, - "циклічний флеш-роял".

Каре. Це чотири карти однієї гідності, при цьому

(Ілюстрація 2)

каре тузів> каре королів> ...> каре сімок.

Колір. П'ять карт однієї масті, що не утворюють "щільність". Найсильніша "кольорова" комбінація - це (А, К, Д, В, 9).

(Ілюстрація 3)

Фул (три + два). Три карти одного достоїнства + дві карти одного достоїнства. Наприклад, три короля + дві десятки. При порівнянні двох фулов сильніше той, у якого старше трійка.

(Ілюстрація 4)

Трійка. Три карти одного достоїнства.

(Ілюстрація 5)

Кент (стріт). П'ять карт, що утворюють "щільність", але не одного кольору.

(Ілюстрація 6)

Доппер (два + два). Дві пари карт одного достоїнства (але не каре!).

(Ілюстрація 7)

Наприклад, дві дев'ятки + дві сімки. Деякі з допперов мають власні імена. Так, два туза + два короля - "Бетон", а дві вісімки + дві сімки - "Пісок".

Двійка. Дві карти одного достоїнства.

(Ілюстрація 8)

Беспарье. Всі інші комбінації.

Між собою комбінації впорядковані наступним чином:

флеш-роял> каре> колір> фул> трійка> кент> доппер> двійка> беспарье.

Опишемо коротко технічну суть гри, наприклад, між двома учасниками X і Y. Вона включає в себе два етапи:

1. Роздача і торгівля. Спочатку гравцям лунає по п'ять карт (очевидно, в "усіченої" колоді залишається на десять карт менше). Після цього гравці по черзі роблять грошові ставки. Якщо ставки зрівнюються (перший тур торгів), переходять до наступного етапу.

2. Мена і торгівля. Кожен гравець на свій розсуд може скинути, не показуючи суперникові, не більше чотирьох своїх карт і отримати взамін стільки ж нових з "усіченої" колоди. Після цього знову починається почергове підвищення ставок. Якщо ставки зрівнюються (другий тур торгів), карти відкриваються, і виграє той, у кого сильніше карткова комбінація.

Основна проблема, з якою стикаються гравці X і Y, полягає в з'ясуванні, "чи є його карткова комбінація сильнішою". Відзначимо, що кожен гравець має знанням про своїх скинутих картах і своїх картах на руках (всього не більше дев'яти). Однак цього недостатньо для однозначного рішення "основного питання", за винятком деяких випадків. Наприклад, якщо у гравця на руках "флеш-роял Ас", то йому, очевидно, нікого боятися. У зв'язку з цим актуальна

Проблема. Яка найслабша комбінація (з урахуванням скинутих карт), з якої можна нічого не боятися?

При вирішенні цього завдання корисно ввести поняття про так званих прохідних картах. Будемо називати прохідними картами гравця X об'єднання

скинутих їм карт + карти на руках, які не беруть участі в комбінації.

Дані карти ніяк не впливають на силу самої комбінації, однак можуть доставляти цінну інформацію. Зокрема, якщо гравець X має комбінацію каре королів і серед його прохідних карт є туз, то йому можна не побоюватися каре тузів у суперника. У цьому випадку говорять, що туз гравця X блокує каре тузів гравця Y. Зрозуміло, і сама комбінація - носій корисних відомостей про можливість наявності тих чи інших комбінацій у суперника. Природний але назвати повним набором карт гравця X об'єднання карт його комбінації з набором його прохідних карт.

Перерахуємо карти певної масті гравця X, які обмежують число можливих флеш-роялів (тієї ж масті) у гравця Y:

а) 10 блокує п'ять флеш-роялів (тобто всі);

б) валет чи 9, кожен окремо, блокують чотири флеш-рояля;

в) дама або 8, кожна окремо, блокують три флеш-рояля;

г) туз, король або 7, кожен окремо, блокують два флеш-рояля.

справедливо наступне

У т в е р ж д е н і е 1. Нехай у гравця X на руках знаходиться каре десяток, а серед прохідних карт знаходяться (В, Д, К, А). Тоді у гравця Y завжди виявляється більш слабка комбінація.

Справді, у гравця Y не може бути комбінації старшого каре, оскільки {валет, дама, король, туз} знаходяться серед прохідних карт X. Крім того, кожен флеш-роял містить карту десятку. Оскільки всі десятки у гравця X, то у Y не може бути ніякої комбінації флеш-роял.

Серед професійних гравців в покер існує думка, що твердження 1 і є правильне рішення поставленої вище проблеми * . Однак з естетичної точки зору представляється можливим посилити твердження 1, оскільки в його формулюванні використовуються лише чотири (з п'яти!) Прохідні карти. Покажемо, що так дійсно і йде справа. Назвемо набір з чотирьох або п'яти прохідних карт "різномастих", якщо в ньому представлені всі чотири масті. Нижче використовується інформація про п'ять прохідних картах, і відповідний результат є посиленням попереднього.

У т в е р ж д е н і е 2. Нехай у гравця X на руках знаходиться каре дев'яток, а (10, В, Д, К, А) - прохідні і "різномасті". Тоді у гравця Y виявляється більш слабка комбінація.

Справді: у гравця Y не може бути комбінації старшого каре, оскільки (10, В, Д, К, А) знаходяться серед прохідних карт. Тепер припустимо, що у гравця Y є комбінація флеш-роял. Оскільки всі дев'ятки у гравця X, то у нього може бути тільки "флеш-роял Ас", тобто (A, К, Д, В, 10). Нехай, наприклад, масть цієї комбінації піку, тоді у гравця X свідомо не буде наступних п'яти карт: П10, ПВ, ПД, ПК, ПА.

Значить, в наборі прохідних карт гравця X пікова масть не представлена. Але це суперечить умові "різномасті". Аналогічним чином встановлюється відсутність у гравця Y комбінації флеш-роял і в інших мастях. Тому в даній ситуації гравцеві X дійсно нема чого боятися.

Тут виникає питання про можливість посилення даного результату ** . Негативна відповідь на дане питання міститься в наступному.

У т в е р ж д е н і е 3. Нехай у гравця X знаходиться комбінація нижче каре дев'яток. Тоді у гравця Y може виявитися більш сильна комбінація при будь-якому наборі прохідних карт гравця X.

Справді, розглянемо послідовно можливі варіанти комбінацій покеру (слабших, ніж каре дев'яток) на руках гравця X.

1) Каре вісімок або каре сімок. Тоді при п'яти прохідних картах їх явно не вистачає, щоб блокувати шість більш старших каре (від дев'ятки до туза);

2) Колір (наприклад, піки). Кілька дивно, що тут у гравця X існує комбінація, яка в сукупності з чотирма прохідними картами блокує всі флеш-роялі і все каре у гравця Y. наприклад,

(Па, ПК, ПД, П8, П7) + Т10 + Б10 + ЧВ, Ч9.

Наведемо опис таких унікальних карткових конструкцій одного кольору.

По-перше, щоб гравцеві X не боятися жодного з каре суперника, йому необхідно мати в повному наборі представників від усіх восьми каре. Отже, в повному наборі (з дев'яти карт) лише одне "гідність" зустрічається двічі (наприклад, 10), а інші представлені в одному екземплярі.

По-друге, щоб гравцеві X не боятися жодного з п'ятнадцяти флеш-роялів (п'яти в трефами + п'яти в бубні + п'яти в черв'яка) противника, необхідно мати в безлічі чотирьох своїх прохідних карт дві десятки, наприклад П10 і Б10 + пара черв'яків, які спільними зусиллями блокують всі червового флеш-роялі. Відзначимо, що згідно з попереднім абзацом в цій Червової парі вже не може зустрічатися карта 10, оскільки вона вже двічі використовується в трефами і бубні. Тому повний перелік всіх дев'яти "пар вбивць" задається списком:

(A, 9); (К, 8); (К, 9); (Д, 7); (Д, 8); (Д, 9); (В, 7); (В, 8); (В, 9).

Легко здогадатися, що загальна конструкція (з точністю до зміни всіх кольорів) визначається наступним чином. Прохідні карти:

Т10 + Б10 + "пара вбивць" (чирва).

А карткова комбінація - піковий колір - задається як різниця множин

{А, К, Д, В, 9, 8, 7} - "пара вбивць" (в піковому забарвленні).

Тепер зауважимо, що отримана (і обов'язкова!) Пікова комбінація на руках гравця X завжди менше наступної (і можливої!) Комбінації (A, К, Д, В, 9) (трефа або бубна) гравця Y.

Розбір середніх і нижчих комбінацій зовсім простий, і його проведення надаємо читачеві.

Таким чином, каре дев'яток з відповідним набором прохідних карт виявляється тією самою найслабшою комбінацією *** .

На закінчення зазначимо, що математичні питання можна поставити, аналізуючи практично будь-яку карткову гру. Так, для гри в "підкидного дурня" сформулюємо і вирішимо наступні завдання:

З а д а ч а 1. Нехай грають двоє. Покажіть, що за кінцевий час гра закінчується.

Р і ш е н і е. Позначимо через 2 n загальне число карт, що перебувають в грі. Далі будемо міркувати по індукції.

Якщо n = 1, то через один хід гра, очевидно, закінчується.

Нехай для 2, ..., 2 n кінцівку тривалості гри встановлена. Розглянемо 2 n + 2. Можливі дві ситуації:

а) один гравець весь час "ходить", а інший приймає. Оскільки число карт звичайно, гра закінчується за кінцеве число ходів;

б) якщо другому гравцеві вдалося відбитися, загальна кількість карт зменшується на парне число і, в силу індукції, гра завершиться за кінцеве час.

З а д а ч а 2. Нехай грають троє - X, Y і Z. Чи може гра тривати вічно?

Р і ш е н і е. Може. Так, нехай в якийсь момент часу у кожного гравця на руках виявилися дві карти, а саме:

гравець X має П6 і П7;

гравець Y має Т8 і Т9;

гравець Z має Б10 і БВ; козир черви.

При такому виборі шести різних карт у гравців немає додаткової можливості "підкидати" карти відбиватися. Ця обставина спрощує аналіз гри.

Нехай кожен гравець при своєму ході виступає з карти найбільшого гідності. В такому випадку жодному з гравців не вдається "відбитися", і тоді виникає нескінченний циклічний процес:

X ходить - Y приймає,

потім Z ходить - X приймає,

далі Y ходить - Z приймає, і все повторюється знову до нескінченності.

Див. В номері на ту ж тему

Подробиці для допитливих. Теорія ймовірностей і покер

Коментарі до статті

* "Деякі це вважають психічним захворюванням. Нехай так. Але це - таке захворювання, яке вище від усякого здоров'я". (А. А. Зінов'єв. Іди на Голгофу).

** "Можна назвати й інші, не менш вагомі докази, але це - найвагоміше". (Медников Б. М., Меншуткин В. В. Журнал загальної біології, 1977).

*** ". ... так, напевно, анахорети раділи будь-якому спокусі, з яким вони мали змагатися. (Ана Бландіні. Вірші, розповіді, есе)".

САМА Найслабкішою непереможною КОМБІНАЦІЯ в покер

Існує безліч карткових ігор. І всі вони (за винятком найпримітивніших) вимагають хорошої пам'яті, знання основ математики і логічного мислення, тобто якостей, дуже корисних у багатьох життєвих ситуаціях, а не тільки за картковим столом. У фільмах нерідко зустрічаються сцени гри в покер. Зазвичай вони покликані продемонструвати психологічну перевагу позитивного героя, коли він на слабкій комбінації "заблефовивает" противника. Або ж показуються "багаті" шулерські можливості негативного героя. Однак в реальному житті існують випадки, коли за допомогою простих математичних міркувань можна гарантувати виграш, не вдаючись до вельми сумнівним способам гри. Розглянемо один з таких прикладів.

Багато хто вважає кросворди занадто важкою головоломкою, тому що відгадати слово їм не під силу. Але вписувати букви в клітини подобається.
Ч. Уезерелл. Етюди для програмістів

У сучасному варіанті покеру використовується "преферансная" колода з тридцяти двох карт. Невеликий її обсяг і відсутність джокерів знижують частку випадку і збільшують можливості логічного аналізу. Нагадаємо, що кожна з чотирьох мастей (піку, трефа, бубна, черва) містить наступні карти:

туз (А)> король (К)> дама (Д)> валет (В)> десятка (10)> дев'ятка (9)> вісімка (8)> сімка (7).

Тут і нижче позначення a> b означає, що a сильніше b. Масті рівноправні, позначають ся першою літерою назви, що стоїть перед позначенням карти. Наприклад: ПД - дама пік, Т7 - сімка треф, ЧА - туз черв'яків і т. Д.

Перерахуємо всі назви і старшинство комбінацій карт, які зустрічаються в покері.

Флеш-роял. Це п'ять карт однієї масті, що утворюють так звану "щільність". Усередині цього класу існує своя ієрархія

(А, К, Д, В, 10)> (К, Д, В, 10, 9)> (Д, В, 10, 9, 8)> (В, 10, 9, 8, 7)> (10 , 9, 8, 7, А).

(Ілюстрація 1)

Тут ліва - найсильніша комбінація - називається "флеш-роял Ас", а права, найбільш слабка, - "циклічний флеш-роял".

Каре. Це чотири карти однієї гідності, при цьому

(Ілюстрація 2)

каре тузів> каре королів> ...> каре сімок.

Колір. П'ять карт однієї масті, що не утворюють "щільність". Найсильніша "кольорова" комбінація - це (А, К, Д, В, 9).

(Ілюстрація 3)

Фул (три + два). Три карти одного достоїнства + дві карти одного достоїнства. Наприклад, три короля + дві десятки. При порівнянні двох фулов сильніше той, у якого старше трійка.

(Ілюстрація 4)

Трійка. Три карти одного достоїнства.

(Ілюстрація 5)

Кент (стріт). П'ять карт, що утворюють "щільність", але не одного кольору.

(Ілюстрація 6)

Доппер (два + два). Дві пари карт одного достоїнства (але не каре!).

(Ілюстрація 7)

Наприклад, дві дев'ятки + дві сімки. Деякі з допперов мають власні імена. Так, два туза + два короля - "Бетон", а дві вісімки + дві сімки - "Пісок".

Двійка. Дві карти одного достоїнства.

(Ілюстрація 8)

Беспарье. Всі інші комбінації.

Між собою комбінації впорядковані наступним чином:

флеш-роял> каре> колір> фул> трійка> кент> доппер> двійка> беспарье.

Опишемо коротко технічну суть гри, наприклад, між двома учасниками X і Y. Вона включає в себе два етапи:

1. Роздача і торгівля. Спочатку гравцям лунає по п'ять карт (очевидно, в "усіченої" колоді залишається на десять карт менше). Після цього гравці по черзі роблять грошові ставки. Якщо ставки зрівнюються (перший тур торгів), переходять до наступного етапу.

2. Мена і торгівля. Кожен гравець на свій розсуд може скинути, не показуючи суперникові, не більше чотирьох своїх карт і отримати взамін стільки ж нових з "усіченої" колоди. Після цього знову починається почергове підвищення ставок. Якщо ставки зрівнюються (другий тур торгів), карти відкриваються, і виграє той, у кого сильніше карткова комбінація.

Основна проблема, з якою стикаються гравці X і Y, полягає в з'ясуванні, "чи є його карткова комбінація сильнішою". Відзначимо, що кожен гравець має знанням про своїх скинутих картах і своїх картах на руках (всього не більше дев'яти). Однак цього недостатньо для однозначного рішення "основного питання", за винятком деяких випадків. Наприклад, якщо у гравця на руках "флеш-роял Ас", то йому, очевидно, нікого боятися. У зв'язку з цим актуальна

Проблема. Яка найслабша комбінація (з урахуванням скинутих карт), з якої можна нічого не боятися?

При вирішенні цього завдання корисно ввести поняття про так званих прохідних картах. Будемо називати прохідними картами гравця X об'єднання

скинутих їм карт + карти на руках, які не беруть участі в комбінації.

Дані карти ніяк не впливають на силу самої комбінації, однак можуть доставляти цінну інформацію. Зокрема, якщо гравець X має комбінацію каре королів і серед його прохідних карт є туз, то йому можна не побоюватися каре тузів у суперника. У цьому випадку говорять, що туз гравця X блокує каре тузів гравця Y. Зрозуміло, і сама комбінація - носій корисних відомостей про можливість наявності тих чи інших комбінацій у суперника. Природний але назвати повним набором карт гравця X об'єднання карт його комбінації з набором його прохідних карт.

Перерахуємо карти певної масті гравця X, які обмежують число можливих флеш-роялів (тієї ж масті) у гравця Y:

а) 10 блокує п'ять флеш-роялів (тобто всі);

б) валет чи 9, кожен окремо, блокують чотири флеш-рояля;

в) дама або 8, кожна окремо, блокують три флеш-рояля;

г) туз, король або 7, кожен окремо, блокують два флеш-рояля.

справедливо наступне

У т в е р ж д е н і е 1. Нехай у гравця X на руках знаходиться каре десяток, а серед прохідних карт знаходяться (В, Д, К, А). Тоді у гравця Y завжди виявляється більш слабка комбінація.

Справді, у гравця Y не може бути комбінації старшого каре, оскільки {валет, дама, король, туз} знаходяться серед прохідних карт X. Крім того, кожен флеш-роял містить карту десятку. Оскільки всі десятки у гравця X, то у Y не може бути ніякої комбінації флеш-роял.

Серед професійних гравців в покер існує думка, що твердження 1 і є правильне рішення поставленої вище проблеми * . Однак з естетичної точки зору представляється можливим посилити твердження 1, оскільки в його формулюванні використовуються лише чотири (з п'яти!) Прохідні карти. Покажемо, що так дійсно і йде справа. Назвемо набір з чотирьох або п'яти прохідних карт "різномастих", якщо в ньому представлені всі чотири масті. Нижче використовується інформація про п'ять прохідних картах, і відповідний результат є посиленням попереднього.

У т в е р ж д е н і е 2. Нехай у гравця X на руках знаходиться каре дев'яток, а (10, В, Д, К, А) - прохідні і "різномасті". Тоді у гравця Y виявляється більш слабка комбінація.

Справді: у гравця Y не може бути комбінації старшого каре, оскільки (10, В, Д, К, А) знаходяться серед прохідних карт. Тепер припустимо, що у гравця Y є комбінація флеш-роял. Оскільки всі дев'ятки у гравця X, то у нього може бути тільки "флеш-роял Ас", тобто (A, К, Д, В, 10). Нехай, наприклад, масть цієї комбінації піку, тоді у гравця X свідомо не буде наступних п'яти карт: П10, ПВ, ПД, ПК, ПА.

Значить, в наборі прохідних карт гравця X пікова масть не представлена. Але це суперечить умові "різномасті". Аналогічним чином встановлюється відсутність у гравця Y комбінації флеш-роял і в інших мастях. Тому в даній ситуації гравцеві X дійсно нема чого боятися.

Тут виникає питання про можливість посилення даного результату ** . Негативна відповідь на дане питання міститься в наступному.

У т в е р ж д е н і е 3. Нехай у гравця X знаходиться комбінація нижче каре дев'яток. Тоді у гравця Y може виявитися більш сильна комбінація при будь-якому наборі прохідних карт гравця X.

Справді, розглянемо послідовно можливі варіанти комбінацій покеру (слабших, ніж каре дев'яток) на руках гравця X.

1) Каре вісімок або каре сімок. Тоді при п'яти прохідних картах їх явно не вистачає, щоб блокувати шість більш старших каре (від дев'ятки до туза);

2) Колір (наприклад, піки). Кілька дивно, що тут у гравця X існує комбінація, яка в сукупності з чотирма прохідними картами блокує всі флеш-роялі і все каре у гравця Y. наприклад,

(Па, ПК, ПД, П8, П7) + Т10 + Б10 + ЧВ, Ч9.

Наведемо опис таких унікальних карткових конструкцій одного кольору.

По-перше, щоб гравцеві X не боятися жодного з каре суперника, йому необхідно мати в повному наборі представників від усіх восьми каре. Отже, в повному наборі (з дев'яти карт) лише одне "гідність" зустрічається двічі (наприклад, 10), а інші представлені в одному екземплярі.

По-друге, щоб гравцеві X не боятися жодного з п'ятнадцяти флеш-роялів (п'яти в трефами + п'яти в бубні + п'яти в черв'яка) противника, необхідно мати в безлічі чотирьох своїх прохідних карт дві десятки, наприклад П10 і Б10 + пара черв'яків, які спільними зусиллями блокують всі червового флеш-роялі. Відзначимо, що згідно з попереднім абзацом в цій Червової парі вже не може зустрічатися карта 10, оскільки вона вже двічі використовується в трефами і бубні. Тому повний перелік всіх дев'яти "пар вбивць" задається списком:

(A, 9); (К, 8); (К, 9); (Д, 7); (Д, 8); (Д, 9); (В, 7); (В, 8); (В, 9).

Легко здогадатися, що загальна конструкція (з точністю до зміни всіх кольорів) визначається наступним чином. Прохідні карти:

Т10 + Б10 + "пара вбивць" (чирва).

А карткова комбінація - піковий колір - задається як різниця множин

{А, К, Д, В, 9, 8, 7} - "пара вбивць" (в піковому забарвленні).

Тепер зауважимо, що отримана (і обов'язкова!) Пікова комбінація на руках гравця X завжди менше наступної (і можливої!) Комбінації (A, К, Д, В, 9) (трефа або бубна) гравця Y.

Розбір середніх і нижчих комбінацій зовсім простий, і його проведення надаємо читачеві.

Таким чином, каре дев'яток з відповідним набором прохідних карт виявляється тією самою найслабшою комбінацією *** .

На закінчення зазначимо, що математичні питання можна поставити, аналізуючи практично будь-яку карткову гру. Так, для гри в "підкидного дурня" сформулюємо і вирішимо наступні завдання:

З а д а ч а 1. Нехай грають двоє. Покажіть, що за кінцевий час гра закінчується.

Р і ш е н і е. Позначимо через 2 n загальне число карт, що перебувають в грі. Далі будемо міркувати по індукції.

Якщо n = 1, то через один хід гра, очевидно, закінчується.

Нехай для 2, ..., 2 n кінцівку тривалості гри встановлена. Розглянемо 2 n + 2. Можливі дві ситуації:

а) один гравець весь час "ходить", а інший приймає. Оскільки число карт звичайно, гра закінчується за кінцеве число ходів;

б) якщо другому гравцеві вдалося відбитися, загальна кількість карт зменшується на парне число і, в силу індукції, гра завершиться за кінцеве час.

З а д а ч а 2. Нехай грають троє - X, Y і Z. Чи може гра тривати вічно?

Р і ш е н і е. Може. Так, нехай в якийсь момент часу у кожного гравця на руках виявилися дві карти, а саме:

гравець X має П6 і П7;

гравець Y має Т8 і Т9;

гравець Z має Б10 і БВ; козир черви.

При такому виборі шести різних карт у гравців немає додаткової можливості "підкидати" карти відбиватися. Ця обставина спрощує аналіз гри.

Нехай кожен гравець при своєму ході виступає з карти найбільшого гідності. В такому випадку жодному з гравців не вдається "відбитися", і тоді виникає нескінченний циклічний процес:

X ходить - Y приймає,

потім Z ходить - X приймає,

далі Y ходить - Z приймає, і все повторюється знову до нескінченності.

Див. В номері на ту ж тему

Подробиці для допитливих. Теорія ймовірностей і покер

Коментарі до статті

* "Деякі це вважають психічним захворюванням. Нехай так. Але це - таке захворювання, яке вище від усякого здоров'я". (А. А. Зінов'єв. Іди на Голгофу).

** "Можна назвати й інші, не менш вагомі докази, але це - найвагоміше". (Медников Б. М., Меншуткин В. В. Журнал загальної біології, 1977).

*** ". ... так, напевно, анахорети раділи будь-якому спокусі, з яким вони мали змагатися. (Ана Бландіні. Вірші, розповіді, есе)".

САМА Найслабкішою непереможною КОМБІНАЦІЯ в покер

Існує безліч карткових ігор. І всі вони (за винятком найпримітивніших) вимагають хорошої пам'яті, знання основ математики і логічного мислення, тобто якостей, дуже корисних у багатьох життєвих ситуаціях, а не тільки за картковим столом. У фільмах нерідко зустрічаються сцени гри в покер. Зазвичай вони покликані продемонструвати психологічну перевагу позитивного героя, коли він на слабкій комбінації "заблефовивает" противника. Або ж показуються "багаті" шулерські можливості негативного героя. Однак в реальному житті існують випадки, коли за допомогою простих математичних міркувань можна гарантувати виграш, не вдаючись до вельми сумнівним способам гри. Розглянемо один з таких прикладів.

Багато хто вважає кросворди занадто важкою головоломкою, тому що відгадати слово їм не під силу. Але вписувати букви в клітини подобається.
Ч. Уезерелл. Етюди для програмістів

У сучасному варіанті покеру використовується "преферансная" колода з тридцяти двох карт. Невеликий її обсяг і відсутність джокерів знижують частку випадку і збільшують можливості логічного аналізу. Нагадаємо, що кожна з чотирьох мастей (піку, трефа, бубна, черва) містить наступні карти:

туз (А)> король (К)> дама (Д)> валет (В)> десятка (10)> дев'ятка (9)> вісімка (8)> сімка (7).

Тут і нижче позначення a> b означає, що a сильніше b. Масті рівноправні, позначають ся першою літерою назви, що стоїть перед позначенням карти. Наприклад: ПД - дама пік, Т7 - сімка треф, ЧА - туз черв'яків і т. Д.

Перерахуємо всі назви і старшинство комбінацій карт, які зустрічаються в покері.

Флеш-роял. Це п'ять карт однієї масті, що утворюють так звану "щільність". Усередині цього класу існує своя ієрархія

(А, К, Д, В, 10)> (К, Д, В, 10, 9)> (Д, В, 10, 9, 8)> (В, 10, 9, 8, 7)> (10 , 9, 8, 7, А).

(Ілюстрація 1)

Тут ліва - найсильніша комбінація - називається "флеш-роял Ас", а права, найбільш слабка, - "циклічний флеш-роял".

Каре. Це чотири карти однієї гідності, при цьому

(Ілюстрація 2)

каре тузів> каре королів> ...> каре сімок.

Колір. П'ять карт однієї масті, що не утворюють "щільність". Найсильніша "кольорова" комбінація - це (А, К, Д, В, 9).

(Ілюстрація 3)

Фул (три + два). Три карти одного достоїнства + дві карти одного достоїнства. Наприклад, три короля + дві десятки. При порівнянні двох фулов сильніше той, у якого старше трійка.

(Ілюстрація 4)

Трійка. Три карти одного достоїнства.

(Ілюстрація 5)

Кент (стріт). П'ять карт, що утворюють "щільність", але не одного кольору.

(Ілюстрація 6)

Доппер (два + два). Дві пари карт одного достоїнства (але не каре!).

(Ілюстрація 7)

Наприклад, дві дев'ятки + дві сімки. Деякі з допперов мають власні імена. Так, два туза + два короля - "Бетон", а дві вісімки + дві сімки - "Пісок".

Двійка. Дві карти одного достоїнства.

(Ілюстрація 8)

Беспарье. Всі інші комбінації.

Між собою комбінації впорядковані наступним чином:

флеш-роял> каре> колір> фул> трійка> кент> доппер> двійка> беспарье.

Опишемо коротко технічну суть гри, наприклад, між двома учасниками X і Y. Вона включає в себе два етапи:

1. Роздача і торгівля. Спочатку гравцям лунає по п'ять карт (очевидно, в "усіченої" колоді залишається на десять карт менше). Після цього гравці по черзі роблять грошові ставки. Якщо ставки зрівнюються (перший тур торгів), переходять до наступного етапу.

2. Мена і торгівля. Кожен гравець на свій розсуд може скинути, не показуючи суперникові, не більше чотирьох своїх карт і отримати взамін стільки ж нових з "усіченої" колоди. Після цього знову починається почергове підвищення ставок. Якщо ставки зрівнюються (другий тур торгів), карти відкриваються, і виграє той, у кого сильніше карткова комбінація.

Основна проблема, з якою стикаються гравці X і Y, полягає в з'ясуванні, "чи є його карткова комбінація сильнішою". Відзначимо, що кожен гравець має знанням про своїх скинутих картах і своїх картах на руках (всього не більше дев'яти). Однак цього недостатньо для однозначного рішення "основного питання", за винятком деяких випадків. Наприклад, якщо у гравця на руках "флеш-роял Ас", то йому, очевидно, нікого боятися. У зв'язку з цим актуальна

Проблема. Яка найслабша комбінація (з урахуванням скинутих карт), з якої можна нічого не боятися?

При вирішенні цього завдання корисно ввести поняття про так званих прохідних картах. Будемо називати прохідними картами гравця X об'єднання

скинутих їм карт + карти на руках, які не беруть участі в комбінації.

Дані карти ніяк не впливають на силу самої комбінації, однак можуть доставляти цінну інформацію. Зокрема, якщо гравець X має комбінацію каре королів і серед його прохідних карт є туз, то йому можна не побоюватися каре тузів у суперника. У цьому випадку говорять, що туз гравця X блокує каре тузів гравця Y. Зрозуміло, і сама комбінація - носій корисних відомостей про можливість наявності тих чи інших комбінацій у суперника. Природний але назвати повним набором карт гравця X об'єднання карт його комбінації з набором його прохідних карт.

Перерахуємо карти певної масті гравця X, які обмежують число можливих флеш-роялів (тієї ж масті) у гравця Y:

а) 10 блокує п'ять флеш-роялів (тобто всі);

б) валет чи 9, кожен окремо, блокують чотири флеш-рояля;

в) дама або 8, кожна окремо, блокують три флеш-рояля;

г) туз, король або 7, кожен окремо, блокують два флеш-рояля.

справедливо наступне

У т в е р ж д е н і е 1. Нехай у гравця X на руках знаходиться каре десяток, а серед прохідних карт знаходяться (В, Д, К, А). Тоді у гравця Y завжди виявляється більш слабка комбінація.

Справді, у гравця Y не може бути комбінації старшого каре, оскільки {валет, дама, король, туз} знаходяться серед прохідних карт X. Крім того, кожен флеш-роял містить карту десятку. Оскільки всі десятки у гравця X, то у Y не може бути ніякої комбінації флеш-роял.

Серед професійних гравців в покер існує думка, що твердження 1 і є правильне рішення поставленої вище проблеми * . Однак з естетичної точки зору представляється можливим посилити твердження 1, оскільки в його формулюванні використовуються лише чотири (з п'яти!) Прохідні карти. Покажемо, що так дійсно і йде справа. Назвемо набір з чотирьох або п'яти прохідних карт "різномастих", якщо в ньому представлені всі чотири масті. Нижче використовується інформація про п'ять прохідних картах, і відповідний результат є посиленням попереднього.

У т в е р ж д е н і е 2. Нехай у гравця X на руках знаходиться каре дев'яток, а (10, В, Д, К, А) - прохідні і "різномасті". Тоді у гравця Y виявляється більш слабка комбінація.

Справді: у гравця Y не може бути комбінації старшого каре, оскільки (10, В, Д, К, А) знаходяться серед прохідних карт. Тепер припустимо, що у гравця Y є комбінація флеш-роял. Оскільки всі дев'ятки у гравця X, то у нього може бути тільки "флеш-роял Ас", тобто (A, К, Д, В, 10). Нехай, наприклад, масть цієї комбінації піку, тоді у гравця X свідомо не буде наступних п'яти карт: П10, ПВ, ПД, ПК, ПА.

Значить, в наборі прохідних карт гравця X пікова масть не представлена. Але це суперечить умові "різномасті". Аналогічним чином встановлюється відсутність у гравця Y комбінації флеш-роял і в інших мастях. Тому в даній ситуації гравцеві X дійсно нема чого боятися.

Тут виникає питання про можливість посилення даного результату ** . Негативна відповідь на дане питання міститься в наступному.

У т в е р ж д е н і е 3. Нехай у гравця X знаходиться комбінація нижче каре дев'яток. Тоді у гравця Y може виявитися більш сильна комбінація при будь-якому наборі прохідних карт гравця X.

Справді, розглянемо послідовно можливі варіанти комбінацій покеру (слабших, ніж каре дев'яток) на руках гравця X.

1) Каре вісімок або каре сімок. Тоді при п'яти прохідних картах їх явно не вистачає, щоб блокувати шість більш старших каре (від дев'ятки до туза);

2) Колір (наприклад, піки). Кілька дивно, що тут у гравця X існує комбінація, яка в сукупності з чотирма прохідними картами блокує всі флеш-роялі і все каре у гравця Y. наприклад,

(Па, ПК, ПД, П8, П7) + Т10 + Б10 + ЧВ, Ч9.

Наведемо опис таких унікальних карткових конструкцій одного кольору.

По-перше, щоб гравцеві X не боятися жодного з каре суперника, йому необхідно мати в повному наборі представників від усіх восьми каре. Отже, в повному наборі (з дев'яти карт) лише одне "гідність" зустрічається двічі (наприклад, 10), а інші представлені в одному екземплярі.

По-друге, щоб гравцеві X не боятися жодного з п'ятнадцяти флеш-роялів (п'яти в трефами + п'яти в бубні + п'яти в черв'яка) противника, необхідно мати в безлічі чотирьох своїх прохідних карт дві десятки, наприклад П10 і Б10 + пара черв'яків, які спільними зусиллями блокують всі червового флеш-роялі. Відзначимо, що згідно з попереднім абзацом в цій Червової парі вже не може зустрічатися карта 10, оскільки вона вже двічі використовується в трефами і бубні. Тому повний перелік всіх дев'яти "пар вбивць" задається списком:

(A, 9); (К, 8); (К, 9); (Д, 7); (Д, 8); (Д, 9); (В, 7); (В, 8); (В, 9).

Легко здогадатися, що загальна конструкція (з точністю до зміни всіх кольорів) визначається наступним чином. Прохідні карти:

Т10 + Б10 + "пара вбивць" (чирва).

А карткова комбінація - піковий колір - задається як різниця множин

{А, К, Д, В, 9, 8, 7} - "пара вбивць" (в піковому забарвленні).

Тепер зауважимо, що отримана (і обов'язкова!) Пікова комбінація на руках гравця X завжди менше наступної (і можливої!) Комбінації (A, К, Д, В, 9) (трефа або бубна) гравця Y.

Розбір середніх і нижчих комбінацій зовсім простий, і його проведення надаємо читачеві.

Таким чином, каре дев'яток з відповідним набором прохідних карт виявляється тією самою найслабшою комбінацією *** .

На закінчення зазначимо, що математичні питання можна поставити, аналізуючи практично будь-яку карткову гру. Так, для гри в "підкидного дурня" сформулюємо і вирішимо наступні завдання:

З а д а ч а 1. Нехай грають двоє. Покажіть, що за кінцевий час гра закінчується.

Р і ш е н і е. Позначимо через 2 n загальне число карт, що перебувають в грі. Далі будемо міркувати по індукції.

Якщо n = 1, то через один хід гра, очевидно, закінчується.

Нехай для 2, ..., 2 n кінцівку тривалості гри встановлена. Розглянемо 2 n + 2. Можливі дві ситуації:

а) один гравець весь час "ходить", а інший приймає. Оскільки число карт звичайно, гра закінчується за кінцеве число ходів;

б) якщо другому гравцеві вдалося відбитися, загальна кількість карт зменшується на парне число і, в силу індукції, гра завершиться за кінцеве час.

З а д а ч а 2. Нехай грають троє - X, Y і Z. Чи може гра тривати вічно?

Р і ш е н і е. Може. Так, нехай в якийсь момент часу у кожного гравця на руках виявилися дві карти, а саме:

гравець X має П6 і П7;

гравець Y має Т8 і Т9;

гравець Z має Б10 і БВ; козир черви.

При такому виборі шести різних карт у гравців немає додаткової можливості "підкидати" карти відбиватися. Ця обставина спрощує аналіз гри.

Нехай кожен гравець при своєму ході виступає з карти найбільшого гідності. В такому випадку жодному з гравців не вдається "відбитися", і тоді виникає нескінченний циклічний процес:

X ходить - Y приймає,

потім Z ходить - X приймає,

далі Y ходить - Z приймає, і все повторюється знову до нескінченності.

Див. В номері на ту ж тему

Подробиці для допитливих. Теорія ймовірностей і покер

Коментарі до статті

* "Деякі це вважають психічним захворюванням. Нехай так. Але це - таке захворювання, яке вище від усякого здоров'я". (А. А. Зінов'єв. Іди на Голгофу).

** "Можна назвати й інші, не менш вагомі докази, але це - найвагоміше". (Медников Б. М., Меншуткин В. В. Журнал загальної біології, 1977).

*** ". ... так, напевно, анахорети раділи будь-якому спокусі, з яким вони мали змагатися. (Ана Бландіні. Вірші, розповіді, есе)".

Яка найслабша комбінація (з урахуванням скинутих карт), з якої можна нічого не боятися?
Чи може гра тривати вічно?
Яка найслабша комбінація (з урахуванням скинутих карт), з якої можна нічого не боятися?
Чи може гра тривати вічно?
Яка найслабша комбінація (з урахуванням скинутих карт), з якої можна нічого не боятися?
Чи може гра тривати вічно?