Урок-лекція "Евклід, Лобачевський. Дві геометрії - один світ" (9-й клас)

розділи: Математика

Клас: 9

Мета уроку:

• Познайомитися з новими областями науки.
• Продемонструвати багатогранність такої науки, як геометрія.
• Розглянути аксіоми геометрії Лобачевського
• Зробити порівняльний аналіз геометрій Евкліда і Лобачевського.
• Розглянути моделі підтверджують справедливість геометрії Лобачевського

Етапи уроку:

1. Перегляд презентації "Коротка історія розвитку геометрії"

2. Вступне слово вчителя. Згадати постулати Евкліда

У книзі I представлені визначення понять, які використовуються нами на уроках геометрії в подальшому. Вони носять інтуїтивний характер, оскільки визначені в термінах фізичної реальності: "Точка є те, що не має частин". "Лінія ж - довжина без ширини". "Пряма лінія є та, яка однаково розташована стосовно, до точок на ній". "Поверхня є те, що має тільки довжину і ширину" і т.д.

За цими визначеннями йдуть п'ять постулатів: "Припустимо:

• що від усякої точки до будь-якої точки можна провести пряму лінію;
• і що обмежену пряму можна безперервно продовжити по прямій;
• і що з будь-якого центру і всяким розчином може бути описаний коло;
• і що всі прямі кути рівні між собою;
• і якщо пряма, падаюча на дві прямі, утворює внутрішні і по одну сторону кути, менше двох прямих, то продовжені необмежено ці дві прямі зустрінуться з того боку, де кути менше двох прямих ".

Три перших постулату забезпечують існування прямої та кола. П'ятий, так званий постулат про паралельних - найвідоміший. Він завжди цікавив математиків, які намагалися вивести його з чотирьох попередніх або взагалі відкинути. Відбувалося це до тих пір, коли в XIX в. виявилося, що можна побудувати інші, неевклидова геометрії і що п'ятий постулат має право на існування.

Серед аксіом Евкліда є аксіома про паралельність прямих, а точніше п'ятий постулат про паралельних лініях: якщо дві прямі утворюють з третьої по одну її сторону внутрішні кути, сума яких менше розгорнутого кута, то такі прямі перетинаються при достатньому продовженні з одного боку.

У сучасному формулюванні аксіома фіксує існування не більше однієї прямої, що проходить через дану точку поза даною прямою і паралельної цієї даної прямої.

Складність формулювання п'ятого постулату породила думку про можливу залежність його від інших постулатів, і тому виникали спроби вивести його з інших передумов геометрії.

3. Повідомлення учасників шкільного наукового товариства.

1 учень. "Формулювання аксіом Лобачевського. У чому їх схожість і в чому відмінність з аксіомами Евкліда".

Аксіоматика планіметрії Лобачевского відрізняється від аксіоматики планіметрії Евкліда лише однієї аксіомою: аксіома паралельності замінюється її запереченням - аксіомою паралельності Лобачевського:

Знайдуться така пряма a і така перестав лежить на ній точка A, що через A проходять принаймні дві прямі, що не перетинають a.

Несуперечливість системи аксіом доводиться поданням моделі, в якій реалізуються дані аксіоми.

Отже, Лобачевський сформулював 5 постулатів, які послужили створенню нової неевклідової геометрії:

1. Через дві точки можна провести одну і тільки одну пряму.

2. Пряма триває нескінченно.

3. З будь-якого центру можна провести окружність будь-яким радіусом.

4. Усі прямі кути рівні між собою.

5. На площині через точку, що не лежить на даній прямій, проходить більше ніж одна пряма, не яка перетинає дану.

2 учень "Доказ 5 того постулату".

Проведемо доказ:

Припустимо, що п'ятий постулат хибний: через точку А, що не належить прямій в, можна провести більш ніж одну пряму, яка не перетинається з прямою в.

1. Нехай прямі а 'і а "не перетинаються з b. Тоді будемо повертати пряму а' за годинниковою стрілкою. В кінцевому підсумку знайдеться така пряма з ', яка є граничним становищем, до якого прямі не перетинають пряму b.

2. Відкладемо пряму з ", симетричну з 'щодо перпендикуляра АР, опущеного на b. Все буде аналогічно.

3. Лобачевський називає ці прямі паралельними прямий b, причому з 'паралельна прямій b вправо.

4. Решта прямі, що проходять через точку А і не перетинають пряму b, іменуються що розходяться з прямою b.

Лобачевський доводить, що дві паралельні прямі необмежено зближуються один з одним в сторону паралельності, але в зворотному напрямку вони необмежено віддаляються один від одного.

3 учень "Теорема про суму кутів трикутника".

Спочатку ми згадаємо класичне доказ теореми.

Потім, розглянемо доказ цієї ж теореми в геометрії Н.І. Лобачевського.

Розглянемо трикутник, в якому

Точка А - перетин синьої і зеленої прямий, точка В - синьою і червоною, точка С червоною і зеленою. Рівні півкола - синю і червону - можна розташувати таким чином, що між ними буде прямий кут. Зелену частину окружності можна вибрати так, що кути А і С будуть як завгодно малі. З цього випливає, що сума кутів даного трикутника буде трохи більше 90 градусів, що менше 180. Значить все-таки можна побудувати трикутник, сума кутів якого більше або менше 180 градусів, але залишається питання: де це можна зробити? На площині, тільки на якийсь? Вам могло здатися дивним те, що прямі на даному малюнку не прямі. А справа тут ось в чому: на звичайній площині неможливо зобразити трикутник, сума кутів якого не дорівнює 180 градусам, для цього нам потрібна площина, що має певну кривизну, наприклад, куля. А якщо на кулі ми проведемо пряму, то вона замкнеться, утворивши тим самим коло. Для доказу даної теореми ми взяли як би "розгортку" цієї кулі і зобразили її на даному малюнку.

4. Розповідь вчителя і перегляд презентації "Три моделі геометрії Н.І. Лобачевського".

5. Підсумок уроку.

Якщо геометрія Евкліда є лише частиною геометрії Лобачевського, то виходить, що наш світ - не мир Евкліда, як прийнято вважати? Чому ж ми не помічаємо різниці?

Як приклад можна навести той факт, що видимий зоряний звід - це не що інше, як гранична площину. Астрономам після визнання досягнень Лобачевського довелося перераховувати всі відстані між зірками, і помилки досягали значної величини.

Незважаючи на всі уявні дивацтва, геометрія Лобачевського є справжньою геометрією нашого світу, і Евклидова є тільки її складовою частиною. Але в межах щоденних вимірювань Евклідова геометрія дає мізерно малі помилки, і ми користуємося саме нею.

Додаток.

30.09.2010