Відкрита Математика. Алгебра. Леонард Ейлер

Ейлер (Euler) Леонард [4 (15) .4.1707, Базель, Швейцарія, - 7 (18) .9.1783, Петербург], математик, механік і фізик. Народився в сім'ї небагатого пастора Пауля Ейлера. Освіту здобув спочатку у батька, а в 1720-24 в Базельському університеті, де слухав лекції з математики І. Бернуллі .

В кінці 1726 Ейлер був запрошений в Петербурзьку АН і в травні 1727 приїхав до Петербурга. У щойно організованої академії Ейлер знайшов сприятливі умови для наукової діяльності, що дозволило йому відразу ж приступити до занять математикою і механікою. За 14 років першого петербурзького періоду життя Ейлер підготував до друку близько 80 праць і опублікував понад 50. У Петербурзі він вивчив російську мову.

Ейлер брав участь у багатьох напрямках діяльності Петербурзької АН. Він читав лекції студентам академічного університету, брав участь в різних технічних експертизах, працював над складанням карт Росії, написав загальнодоступне «Керівництво до арифметики» (1738-40). За спеціальним дорученням академії Ейлер підготував до друку «Морську науку» (1749) - фундаментальна праця з теорії кораблебудування і кораблеводіння.

У 1741 Ейлер прийняв пропозицію прусського короля Фрідріха II переїхати до Берліна, де мала відбутися реорганізація АН. У Берлінської АН Ейлер зайняв пост директора класу математики і члена правління, а після смерті її першого президента П. Мопертюї кілька років (з 1759) фактично керував академією. За 25 років життя в Берліні він підготував близько 300 робіт, серед них ряд великих монографій.

Живучи в Берліні, Ейлер не переставав інтенсивно працювати для Петербурзької АН, зберігаючи звання її почесного члена. Він вів велику наукову і науково-організаційну листування, зокрема листувався з М. Ломоносовим, якого високо цінував. Ейлер редагував математичний відділ російського академічного наукового органу, де опублікував за цей час майже стільки ж статей, скільки в «Мемуарах» Берлінською АН. Він брав активну участь у підготовці російських математиків; в Берлін відряджалися для занять під його керівництвом майбутні академіки С. Котельников, С. Румовскій і М. Софронов. Велику допомогу Ейлер надавав Петербурзької АН, набуваючи для неї наукову літературу та обладнання, ведучи переговори з кандидатами на посади в академії і т.д.

17 (28) липня 1766 Ейлер разом з родиною повернувся в Петербург. Незважаючи на похилий вік і прийшло на нього майже повну сліпоту, він до кінця життя продуктивно працював. За 17 років вторинного перебування в Петербурзі їм було підготовлено близько 400 робіт, серед них кілька великих книжок. Ейлер продовжував брати участь і в організаційній роботі академії. У 1776 він був одним з експертів проекту одноарочного моста через Неву, запропонованого І. Кулібіни, і з усієї комісії один надав широку підтримку проекту.

Заслуги Ейлера як великого вченого і організатора наукових досліджень отримали високу оцінку ще за його життя. Крім Петербурзької та Берлінської академій, він був членом найбільших наукових установ: Паризької АН, Лондонського королівського товариства та інших.

Одна з відмінних сторін творчості Ейлера - його виняткова продуктивність. Тільки при його житті було опубліковано близько 550 його книг і статей (список праць Ейлера містить приблизно 850 назв). У 1909 Швейцарське природничо товариство приступило до видання повного зібрання творів Ейлера, яке завершено в 1975; воно складається з 72 томів. Великий інтерес представляє і колосальна наукова листування Ейлера (близько 3000 листів), до цих пір опублікована лише частково.

Незвичайно широкий був коло занять Ейлера, що охоплювали всі відділи сучасної йому математики і механіки, теорію пружності, математичну фізику, оптику, теорію музики, теорію машин, балістику, морську науку, страхову справу і т.д. Близько 3/5 робіт Ейлера відноситься до математики, інші 2/5 переважно до її додатків. Свої результати і результати, отримані іншими, вчений систематизував в ряді класичних монографій, написаних з вражаючою ясністю і забезпечених цінними прикладами. Такі, наприклад, «Механіка, або Наука про рух, викладена аналітично» (1736), «Введення в аналіз» (1748), «Диференціальне числення» (1755), «Теорія руху твердого тіла» (1765), «Універсальна арифметика» (1768-69), що витримала близько 30 видань на 6 мовах, «Інтегральне числення» (1768-94) і ін. у XVIII ст., а почасти і в XIX ст. величезну популярність придбали загальнодоступні "Листи про різних фізичних і філозофіческіх матерії, писані до деякої німецької принцесі ...» (1768-74), які витримали понад 40 видань на 10 мовах. Велика частина змісту монографій Ейлера увійшла потім в навчальні посібники для вищої і частково середньої школи. Неможливо перелічити всі донині вживані теореми, методи і формули Ейлера, з яких тільки деякі фігурують в літературі під його ім'ям [наприклад метод ламаних Ейлера, підстановки Ейлера, постійна Ейлера, рівняння Ейлера, формули Ейлера, функція Ейлера, числа Ейлера, формула Ейлера - Маклорена, формули Ейлера - Фур'є, ейлерова характеристика, ейлерови інтеграли, ейлерови кути].

У «Механіці» Ейлер вперше виклав динаміку точки за допомогою математичного аналізу: вільний рух точки під дією різних сил як в порожнечі, так і в середовищі, що володіє опором; рух точки по даній лінії або по даній поверхні; рух під дією центральних сил. У 1744 він вперше коректно сформулював механічний принцип найменшої дії і показав його перші застосування. У «Теорії руху твердого тіла» Ейлер розробив кінематику і динаміку твердого тіла і дав рівняння його обертання навколо нерухомої точки, поклавши початок теорії гіроскопів. У своїй теорії корабля Ейлер вніс цінний внесок в теорію стійкості. Значні відкриття Ейлера в небесній механіці (наприклад, в теорії руху Місяця), механіці суцільних середовищ (основні рівняння руху ідеальної рідини в формі Ейлера і в т. Н. Змінних Лагранжа, коливання газу в трубах і ін.). В оптиці Ейлер дав (+1747) формулу двоопуклої лінзи, запропонував метод розрахунку показника заломлення середовища. Ейлер дотримувався хвильової теорії світла. Він вважав, що різним кольорам відповідають різні довжини хвиль світла. Ейлер запропонував способи усунення хроматичних аберації лінз і дав методи розрахунку оптичних вузлів мікроскопа. Великий цикл робіт, розпочатий в 1748, Ейлер присвятив математичної фізики: завданням про коливанні струни, пластинки, мембрани і ін. Всі ці дослідження стимулювали розвиток теорії диференціальних рівнянь, наближених методів аналізу, спец. функцій, диференціальної геометрії і т.д. Багато математичні відкриття Ейлера містяться саме в цих роботах.

Головним справою Ейлера як математика з'явилася розробка математичного аналізу. Він заклав основи кількох математичних дисциплін, які тільки в зародковому вигляді були або зовсім відсутні в обчисленні нескінченно малих І. Ньютона , Г. Лейбніца , Братів Бернуллі. Так, Ейлер перший ввів функції комплексного аргументу і досліджував властивості основних елементарних функцій комплексного змінного (показові, логарифмічні і тригонометричні функцій); зокрема, він вивів формули, що зв'язують тригонометричні функції з показовою. Роботи Ейлера в цьому напрямку поклали початок теорії функцій комплексного змінного.

Ейлер став творцем варіаційного обчислення, викладеного в роботі «Метод знаходження кривих ліній, що володіють властивостями максимуму, або мінімуму ...» (1744). Метод, за допомогою якого Ейлер в 1744 вивів необхідну умову екстремуму функціонала - рівняння Ейлера, став прообразом прямих методів варіаційного числення XX в. Ейлер створив як самостійну дисципліну теорію звичайних диференціальних рівнянь і заклав основи теорії рівнянь з приватними похідними. Тут йому належить величезне число відкриттів: класичний спосіб вирішення лінійних рівнянь з постійними коефіцієнтами, метод варіації довільних сталих, з'ясування основних властивостей рівняння Риккати, інтегрування лінійних рівнянь зі змінними коефіцієнтами за допомогою нескінченних рядів, критерії особливих рішень, вчення про интегрирующем множителе, різні наближені методи і ряд прийомів рішення рівнянь з приватними похідними. Значну частину цих результатів Ейлер зібрав у своєму «Інтегральному обчисленні».

Ейлер збагатив також диференціальне та інтегральне числення у вузькому сенсі слова (наприклад, вчення про заміну змінних, теорема про однорідних функціях, поняття подвійного інтеграла і обчислення багатьох спеціальних інтегралів). У «Диференціальному обчисленні» Ейлер висловив і підкріпив прикладами переконання в доцільності застосування розходяться рядів і запропонував методи узагальненого підсумовування рядів, передбачивши ідеї сучасної суворої теорії розходяться рядів, створеної на рубежі XIX і XX ст. Крім того, Ейлер отримав в теорії рядів безліч конкретних результатів. Він відкрив т. Н. формулу підсумовування Ейлера - Маклорена, запропонував перетворення рядів, що носить його ім'я, визначив суми величезної кількості рядів і ввів в математику нові важливі типи рядів (наприклад, тригонометричні ряди). Сюди ж примикають дослідження Ейлера з теорії неперервних дробів та інших нескінченних процесів.

Ейлер є основоположником теорії спеціальних функцій. Він першим почав розглядати синус і косинус як функції, а не як відрізки в колі. Їм отримані майже всі класичного розкладання елементарних функцій в нескінченні ряди і твори. В його працях створена теорія γ-функції. Він досліджував властивості еліптичних інтегралів, гіперболічних і циліндричних функцій, ζ-функції, деяких θ-функцій, інтегрального логарифма і важливих класів спеціальних многочленів.

Як зауважив П. Чебишева, Ейлер поклав початок всім вишукувань, що становлять загальну частину теорії чисел. Так, Ейлер довів ряд тверджень, висловлених П. Ферма (Наприклад, мала теорема Ферма), розробив основи теорії статечних відрахувань та теорії квадратичних форм, виявив (але не довів) квадратичний закон взаємності і досліджував ряд завдань диофантова аналізу. У роботах про розбиття чисел на складові і з теорії простих чисел Ейлер вперше використовував методи аналізу, з'явившись тим самим творцем аналітичної теорії чисел. Зокрема, він ввів ζ-функцію і довів т. Н. тотожність Ейлера, що зв'язує прості числа з усіма натуральними.

Великі заслуги Ейлера і в інших областях математики. В алгебрі йому належать роботи про рішення в радикалах рівнянь вищих ступенів і про рівняннях з двома невідомими, а також т. Н. тотожність Ейлера про чотири квадратах. Ейлер значно просунув аналітичну геометрію, особливо вчення про поверхнях другого порядку. У диференціальної геометрії він детально дослідив властивості геодезичних ліній, вперше застосував натуральні рівняння кривих, а головне, заклав основи теорії поверхонь. Він ввів поняття головних напрямків у точці поверхні, довів їх ортогональность, вивів формулу для кривизни будь-якого нормального перетину, почав вивчення розгортаються поверхонь і т.д .; в одній посмертно опублікованій роботі (1 862) він частково передував дослідження К. Гаусса по внутрішній геометрії поверхонь. Ейлер займався і окремими питаннями топології і довів, наприклад, важливу теорему про опуклих многогранниках. Ейлера-математика нерідко характеризують як геніального «обчислювача». Дійсно, він був неперевершеним майстром формальних викладок і перетворень, в його працях багато математичні формули і символіка отримали сучасний вигляд (наприклад, йому належать позначення для e і π). Однак Ейлер також вніс в науку ряд глибоких ідей, які нині строго обгрунтовані і служать зразком глибини проникнення в предмет дослідження.

за висловом П. Лапласа , Ейлер з'явився вчителем математиків другої половини XVIII ст.