вивчення трикутників

Історичні відомості про розвиток геометрії

Перші геометричні поняття придбані людьми в далекій давнині. Вони виникли з потреби визначати місткість різних предметів (судин, комор і т. П.) І площі земельних ділянок. Найдавніші відомі нам писемні пам'ятки, що містять правила для визначення площ і обсягів, були складені в Єгипті і Вавилоні близько 4 тисяч років тому. Близько 2,5 тисяч років тому греки запозичили у єгиптян і вавилонян їх геометричні знання. Спочатку ці знання застосовувалися переважно для вимірювання земельних ділянок. Звідси і грецька назва «геометрія», що означає «землемір».

Грецькі вчені відкрили безліч геометричних властивостей і створили струнку систему геометричних знань. В її основу вони поклали найпростіші геометричні властивості, підказані досвідом. Решта властивості виводилися з найпростіших за допомогою міркувань. Ця система близько 300 р. До н.е. е. отримала завершеного вигляду в

Евклід

Однак там нічого не говориться ні про обсяг, ні про поверхні кулі, ні про ставлення окружності до діаметру (хоча є теорема про те, що площі кіл відносяться, як квадрати діаметрів). Наближена величина цього відношення була відома з досвіду задовго до Евкліда, але тільки в середині III ст. до н. е. Архімед (287-212) строго довів, що відношення кола до діаметру (т. Е., По-нашому, число π) укладено між і. Архімед довів також, що об'єм кулі менше обсягу описаного циліндра рівно в рази і що поверхня кулі в рази менше повної поверхні описаного циліндра.

У способах, застосованих Архімедом для вирішення згаданих завдань, містяться зачатки методів вищої математики. Ці способи Архімед застосував до вирішення багатьох складних завдань геометрії і механіки, дуже важливих для будівельної справи і для мореплавання. Зокрема, він визначив обсяги і центри тяжкості багатьох тіл і вивчив питання про рівновагу плаваючих тіл різної форми.

Грецькі геометри досліджували властивості багатьох ліній, важливих для практики і для теорії. Особливо повно вони вивчили конічні перетину. У II ст. до н. е. Аполлоній збагатив теорію конічних перетинів багатьма важливими відкриттями, що залишалися неперевершеними протягом вісімнадцяти століть.

Для вивчення конічних перетинів Аполлоній користувався методом координат. До вивчення всіляких ліній на площині цей метод був застосований лише в 30-х роках XVII ст. французькими вченими Ферма (1601 -1655) і Декартом (1596-1650) Для технічної практики того часу було достатньо плоских ліній. Лише сто років по тому, коли цього зажадали зрослі запити астрономії, геодезії і механіки, координатний метод був застосований до вивчення кривих поверхонь і ліній, проведених на кривих поверхнях. Систематичний розвиток методу координат в просторі було дано в 1748 р російським академіком Ейлером - геніальним і всебічним вченим.

Понад дві тисячі років система Евкліда вважалася непорушною. Але в 1826 р геніальний російський вчений Н. І. Лобачевський створив нову геометричну систему. Вихідні її положення відрізняються від основних положень Евкліда лише в одному пункті. Але звідси випливає безліч дуже істотних особливостей.

Так, в геометрії Лобачевського сума кутів трикутника завжди менше, ніж 180 ° (в геометрії Евкліда вона дорівнює 180 °). При цьому недолік до 180 ° тим більше, чим більше площа трикутника. Може здатися, що досвід спростовує цей та інші висновки Лобачевського. Але це не так. Безпосередньо вимірюючи кути трикутника, ми знаходимо, що вони в сумі становлять приблизно 180 °. Точної ж величини суми ми не можемо знайти внаслідок недосконалості вимірювальних інструментів. Тим часом все ті трикутники, які доступні нашому вимірюванню, занадто малі, щоб безпосередніми вимірами виявити недолік суми кутів до 180 °.

При подальшому розвитку геніальних ідей Лобачевського виявилося, що система Евкліда недостатня для дослідження багатьох питань астрономії та фізики, де ми маємо справу з фігурами величезних розмірів. Однак в умовах звичайного досвіду вона залишається цілком придатною. А так як до того ж вона має перевагу простоти, то її застосовують і будуть застосовувати в технічних розрахунках, її вивчають і вивчатимуть в школах.

Давньоєгипетську і вавилонську культуру в області математики продовжували греки. Вони не тільки засвоїли весь досвід їх геометрії, а й пішли набагато далі. Вчені стародавньої Греції зуміли привести в систему накопичені геометричні знання і, таким чином, залежить початку геометрії як дедуктивної науки.

Грецькі купці познайомилися зі східною математикою, прокладаючи торгові шляхи. Але люди Сходу майже не займалися теорією, і греки швидко це виявили. Вони ставили собі питання: чому в трикутник два кута при основі рівні; чому площа трикутника дорівнює половині площі прямокутника при однакових підставах і висотах?

На жаль, не збереглося першоджерел, що описують ранній період розвитку грецької математики. Тільки завдяки відновленим текстам четвертого століття до нашої ери і працям арабських вчених, які були багаті перекладами творів авторів античної Греції, ми маємо в своєму розпорядженні виданнями Евкліда, Архімеда, Аполлонія і інших великий людей. Але в цих творах вже представлена ​​цілком розвинена математична наука.

Математика стародавньої Греції пройшла тривалий і складний шлях розвитку, починаючи з VI століття до н.е. і по VI століття. Історики науки виділяють три періоди її розвитку відповідно до характеру знань:

1 - Накопичення окремих математичних фактів і проблем (6 - 5 B. B. До н.е.).

2 - Систематизація отриманих знань (4 - 3 ст до н.е.).

3 - Період обчислювальної математики (3в. До н.е. - 6 ст.).

Незвичайний розквіт науки і культури був тісно пов'язаний із загальним підйомом грецького виробництва 6 - 4 ст до н.е., життєвими потребами людей. Проблеми механіки, астрономії, будівництва, архітектури, мореплавання вимагали вдосконалення математичних методів, починаючи від обчислювальної геометрії і до вчення про відносини, способи визначення площ, обсягів, центрів тяжіння.

Велике значення для розвитку наук мала суспільно - політичне життя міст - полісів, особливо після встановлення демократії. В математиці так само, як і в політичних або судових суперечках, ставало за потрібне давати точні визначення понять, розвивати суворі обгрунтування. В цей час виникли перші філософські школи, які логічно пояснювали своє світобачення, виходячи з невеликого числа положень, прийнятих без доказу. Такий логічний підхід був введений також в геометрію і скоро став в ній основним методом встановлення істинності пропозицій. Як і природознавство, математика, починаючи з самого свого формування як науки, з'явилася ареною боротьби матеріалізму та ідеалізму. Виступаючи проти релігійних міфологічних фантазій, давньогрецькі філософи, які розділяли стихійно-матеріалістичні погляди, шукали в самій природі початок буття, і математика служила засобом, що сприяв їм у цих пошуках. Тим часом філософи-ідеалісти бачили в числах початок всіх речей, а в математиці - основу всієї науки. Таким чином, поки вона не відокремилася від філософії, боротьба двох світоглядів відбувалася безпосередньо всередині неї самої.

Досвід филосовских шкіл

Першою серед наукових і філософських шкіл давньої Греції була ионийская (VI ст. До н.е.). Її вчені вперше стали займатися геометрією, однак строгої геометричної системи не створили. У них було лише збори правил, знайдених емпіричним шляхом, якими вони користувалися при конкретних побудовах.

Представником нової форми раціонального мислення в математиці, засновником іонійської школи вважається Фалес (640 - 548 рр до н.е.). Під час подорожей він відвідав Єгипет, де і познайомився з астрономією і геометрією. Легенда розповідає про те, що Фалес привів у здивування єгипетського царя Амазіса, вимірявши висоту однієї з пірамід за величиною відкидаємо нею тіні. В геометрії йому приписують ряд тверджень. Ось перше з них: "Діаметр ділить окружність (коло) навпіл". Доказом служив малюнок - коло, розділене на рівні сектори. Він обґрунтував також і інші: "Кути при основі рівнобедреного трикутника рівні", друга ознака рівності трикутників. Фалес мислив кути не як величини, а як фігури, що мають деяку форму.

У цій школі був введений процес обгрунтування як необхідний компонент математичної діяльності, що було характерною рисою їхньої математики. Своє існування школа припинила після падіння Мілета, завойованого персами в 494 році до н. е. Подальший розвиток математики відбувалося в іншій давньогрецької школі, засновником якої був легендарний Піфагор (564-473 рр. До н.е..).

Піфагор та його учні вважали, що за допомогою чисел можна виразити все закономірності світу, вони були основою всіх речей і явищ природи. Піфагорійці зображували числа у вигляді точок, згрупованих в геометричні фігури, і називали їх фігурними. Так, серед них вони виділяли плоскі і тілесні. Точка, яка зображала одиницю була неподільною і мала навколо себе "поле". Тому кожне число можна було задати не тільки за допомогою точок, а й квадратних полів.