В.Літцман. теорема Піфагора

MATHEMATISCH-PHYSIKALISCHE BIBLIOTHEK
REIHE I
Herausgegeben von Prof.Dr.W.Lietzmann 2/3
В. Літцмана DER PYTHAGOREISCHE
LEHRSATZ
MIT EINEM AUSBLICK AUF DAS FERMATSCHE PROBLEM
von Prof. Dr. W. Lietzmann, Universität Göttingen
Sechste, überarbeitete Auflage mit 73 Figuren
ТЕОРЕМА
ПІФАГОРА
Переклад з німецької
В. С. Бермана
під редакцією
І. М. Яглом BG TEUBNER
VERLAGSGESELLSCHAFT · LEIPZIG
1951 ДЕРЖАВНЕ ВИДАВНИЦТВО
ФІЗИКО-МАТЕМАТИЧНОЇ ЛІТЕРАТУРИ
Москва 1960

Ця невелика книжка, написана відомим німецьким популяризатором математики, професором Геттінгенського університету Вальтером Літцманом, присвячена не тільки геометрії, як можна було б подумати по її назві. Автор зібрав в ній досить різноманітний матеріал, що відноситься і до геометрії, і до алгебри, і до арифметики. Весь цей матеріал групується навколо знаменитої теореми ПІФАГОРА, однією з чудових теорем шкільного курсу математики. При цьому автор, природно, не стосується серйозних наукових проблем, пов'язаних з цією теоремою; майже не зачіпає він і чисто методичних питань, лише злегка критикуючи традиційне доказ теореми Піфагора, що приводиться майже у всіх шкільних підручниках. Однак і обмеживши таким чином рамки своєї книги, Літцмана зумів знайти досить цікавого матеріалу, здатного зацікавити початківця математика.

Окремі розділи книги досить мало залежать одна від одної; тут ми маємо не зв'язний розповідь про один предмет, а скоріше невимушену бесіду на задану тему. В цьому відношенні книжка близька до іншої брошурі того ж автора - «Старе і нове про колі». В виклад вкраплені велике число вправ, що дозволяють читачеві перевірити ступінь свого оволодіння матеріалом; ми дуже радимо читачеві не нехтувати цією можливістю. Книга розрахована в першу чергу на учнів старших класів середньої школи; цікава і корисна вона буде також і вчителю, який знайде тут багато матеріалу, який можна використовувати на уроці або в математичному гуртку.

Ця книга вже витримала два видання російською мовою; Останнім російське видання вийшло у світ в 1935 р і давно стало бібліографічною рідкістю. Справжнє третє видання переведено з 6-го німецького видання, переробленого і значно доповненого автором. У російській перекладі додані нечисленні примітки редактора (вони відзначені зірочкою на відміну від нумерованих підрядкових виносок автора); в них вказані, зокрема, деякі російські науково-популярні книги, що доповнюють виклад автора. Ці посилання покликані замінити виключений при перекладі бібліографічний покажчик, що відсилає читача виключно до німецьких книг і журналів, недоступним нашому читачеві. Крім того, редактору належать невеликі вставки, відмічені кутовими дужками.

І. М. Яглом

Справжній томик «Математичної бібліотеки» не переслідує мети - дати якомога повніше зібрання різних доказів теореми Піфагора або до числа відомих доказів додати нові. Ми хотіли лише показати тут на простому прикладі, втім має видатне значення як з точки зору історії математики, так і її викладання, як різноманітно можуть стикатися різні галузі математики, як тісно бувають сплетені математичні факти, утворюючи НЕ ланцюг, але мережу. І перш за все автор намагався спонукати читача до самостійних математичним роздумів, наскільки це йому дозволяли тісні рамки маленької книжки. Ця основна мета підкреслюється і великим числом різних питань, лише злегка порушених у викладі.

Вересень 1911 р

З часу появи першого видання цієї невеликої книжки пройшло майже 40 років. П'яте видання, через значне збільшення його обсягу, довелося розділити на два окремих випуску. У цьому шостому виданні ці випуски знову об'єднані разом; крім того, сюди включений деякий додатковий матеріал, як нам здається, також представляє інтерес.

Літо 1951 р

1. «Так як нині необхідно розглянути також почала мистецтв і наук справжнього періоду, то ми повідомляємо, що, на думку більшості, першими відкрили геометрію єгиптяни, які прийшли до неї від вимірювання земельних ділянок. І немає нічого дивного в тому, що винахід цієї науки, як і інших, походить від потреби, бо все виникає рухається уперед від недосконалого до скоєного. Існує природний перехід від чуттєвого сприйняття до роздумів, а від останнього - до розумного пізнання ».

Цими словами починається давньогрецький «Перелік математиків», приписуваний Евдему; далі йде перерахування окремих грецьких математиків, що починається з Фалеса Мілетського, причому заслуги кожного характеризуються небагатьма, але здебільшого надзвичайно влучними словами. У цьому «Переліку» про Піфагора сказано так:

«Як передають, Піфагор перетворив заняття цією галуззю знання (геометрією) в справжню науку, розглядаючи її основи з вищої точки зору і досліджуючи її теорії менш матеріальним і більш розумовим чином».

Час життя Піфагора Самоський точно невідомо; одні повідомляють, що він народився в 569 р до нашої ери і помер в 470 р, інші ж зрушують його народження до 580 м, а смерть відносять приблизно до 500 м З життєпису Піфагора для нас важливо, що він, по- мабуть, довгий час провів в Єгипті, а можливо і в Вавилонії, і що перебування в цих країнах зробило на нього великий вплив.

Через бідність цих відомостей буває важко відрізнити в приписуваних Піфагору відкриття його власні досягнення від того, чому зобов'язані, з одного боку, його попередникам, а з іншого - учням. Те ж саме можна сказати і з приводу теореми, майже всюди званої ім'ям Піфагора (у Франції, а також в деяких областях Німеччини її називають також іноді «мостом ослів»: les pontaux ànes, die Eselbrücke):

Квадрат, побудований на гіпотенузі прямокутного трикутника, рівновеликий сумі квадратів, побудованих на його катетах.

В даний час всі згодні з тим, що ця теорема була відкрита Піфагором. Однак одні вважають, що Піфагор першим дав її повноцінне доказ, інші ж відмовляють йому і в цій заслузі. Було б важко відповісти на питання, в чому полягало це доказ. Деякі приписують Піфагору доказ, яке Евклід (жив близько 300 р до н.е. в Олександрії) призводить в першій книзі своїх «Почав»; з іншого боку, Прокл, який жив від 410 або 412 р до 485 у Візантії і Афінах, стверджує, що доказ в «Засадах» належить самому Евклиду.

Як ми бачимо, історія математики майже не зберегла достовірних даних про життя Піфагора і його математичної діяльності. Зате легенда повідомляє навіть найближчі обставини, що супроводжували відкриття теореми. Багато хто знає сонет Шамиссо:

Хай буде вічною істина, як скоро
Її людина пізнає!
І нині теорема Піфагора
Верна, як і в його далекий століття.

Рясно було жертвопринесення
Богам від Піфагора. Мудрець
Він віддав на заклання і спалення
За світла промінь, що прийшов з хмар.

Тому завжди з тих самих пір,
Ледь істина народжується на світ,
Бики ревуть, її почуя, слідом.

Вони не в змозі світло зупинить,
А можуть лише закривши очі тремтіти
Від страху, що вселив в них Піфагор.

Ця розповідь про жертвоприношення, який посилає Діогеном, Лаерт і Плутархом, звичайно вигаданий. А тому, на жаль, позбавлене підстави і то глузливе зауваження про переселення душ, яке зустрічається у Генріха Гейне:

"Хто знає! Хто знає! Можливо, душа Піфагора переселилася в бідолаху кандидата, який не зміг довести теорему Піфагора і провалився через це на іспитах, тоді як в його екзаменаторів живуть душі тих биків, яких Піфагор, зраділий відкриттям своєї теореми, приніс в жертву безсмертним богам ».

В кінці XIX століття почали висловлюватися найрізноманітніші припущення про існування мешканців Марса подібних людині; це стало наслідком відкриттів Скіапареллі 1) і інших астрономів. Природно, що питання про те, чи можна, застосовуючи світлові сигнали, пояснюватися з цими гіпотетичними істотами, викликав жваву дискусію. Паризької академією наук була навіть встановлена ​​премія в 100 000 франків тому, хто першим встановить зв'язок з яким-небудь мешканцем іншого небесного тіла (тут, втім, випадок Марса, як занадто легкий, виключався!); ця премія все ще очікує на щасливця. Жартома, хоча і не зовсім безпідставно, було запропоновано передати мешканцям Марса чи іншої планети світловий сигнал у вигляді креслення теореми Піфагора. Невідомо, як це зробити; але ми на земній кулі твердо віримо, що математичний факт, що виражається теоремою Піфагора, має місце всюди і тому схожі на нас мешканці іншого світу повинні зрозуміти такий сигнал.

2. Історичний огляд ми почнемо з китайців. Тут особливу увагу привертає математична книга Чу-пей. В її першій частині розповідається про бесіду двох осіб, які жили близько 1100 р до н.е., але навряд чи звідси можна зробити висновок, що викладені факти були вже відомі в той час, як це стверджується в передмові, написаному в 1213 р нашій ери. Можливо, що цікавить нас частина книги була написана лише на початку нашої ери.

Мал. 1.

У цьому творі так говориться про Піфагора трикутнику зі сторонами 3, 4 і 5:

«Якщо прямий кут розкласти на складові частини, то лінія, що з'єднує кінці його сторін, буде 5, коли підстава є 3, а висота 4».

Тут же прикладений малюнок (рис. 1), який збігається з одним з креслень індуської геометрії Басхари; до цього питання ми ще повернемося в § 2, п. 14.

3. Кантор 2) вважає, що рівність

32 + 42 = 52,

- іншими словами, прямокутний трикутник зі сторонами 3, 4 і 5 - було відомо вже єгиптянам ще близько 2300 до н.е., за часів царя Аменемхета I (згідно папірусу 6619 Берлінського музею). На думку Кантора, гарпедонапти, або «натягівателі мотузок», будували прямі кути за допомогою прямокутних трикутників зі сторонами 3, 4 і 5. Ми дуже легко можемо відтворити їх спосіб побудови.

Візьмемо мотузку довжиною в 12 м і прив'яжемо до неї по кольоровий смужці на відстанях 3 м від одного кінця і 4 м від іншого (див. Рис. 2). Тепер натягнемо мотузку так, як це вказано на малюнку. Прямий кут виявиться укладеним між сторонами довжиною в 3 і в 4 метри.

Мал. 2.

Гарпедонаптам можна було б заперечити, що їх спосіб побудови стає зайвим, якщо скористатися, наприклад, дерев'яним косинцем, застосовуваним усіма теслями. І дійсно, відомі єгипетські малюнки, на яких зустрічається такий інструмент, наприклад малюнки, що зображають столярну майстерню. Однак потрібно було ще вміти виготовляти ці прямі кути і знати спосіб перевірки їх точності. Таким способом могло бути просте перевёртиваніе (рис. 3 і 4).

[На жаль, я не маю письмовими документами, на яких засновував Кантор своє припущення, а дійшли до нас малюнки, що зображають торжества, які супроводжують закладку храму, мало підтверджують його твердження.]

Дещо більше нам відомо про теорему Піфагора у вавилонян. В одному тексті, относимом до часу Хаммурапі, тобто до 2000 р до н.е., наводиться наближене обчислення гіпотенузи прямокутного трикутника; звідси можна зробити висновок, що в Дворіччя вміли робити обчислення з прямокутними трикутниками по крайней мере в деяких випадках.

Нейгебауер 3) за різними мотивами теж вважає достовірним, що в Вавилонії знали теорему Піфагора і вміли нею користуватися. У світлі цих пізніших досліджень про догрецькою математики доводиться відмовитися від багатьох колишніх тверджень про пріоритет греків.

Грунтуючись, з одного боку, на сьогоднішньому рівні наших знань про єгипетській і вавилонській математиці, а з іншого - на критичному вивченні грецьких джерел, Ван-дер-Варден 4) зробив нещодавно такий висновок: «Заслугою перших грецьких математиків, таких, як Фалес, Піфагор і піфагорійці, є не відкриття математики, але її систематизація та обгрунтування. В їх руках обчислювальні рецепти, засновані на неясних уявленнях, перетворилися в точну науку ».

4. Геометрія у індусів, як і у єгиптян і вавилонян, була тісно пов'язана з культом. Досить імовірно, що теорема про квадраті гіпотенузи була відома в Індії вже близько VIII векадо н.е.

«Індійське богослужіння не може обійтися без геометричних правил, так як воно пов'язане надзвичайно точними приписами. Якщо у вівтарі є найменше відхилення від запропонованої форми, якщо одне його ребро не утворює з іншим точно прямого кута, якщо сталася незначна помилка в орієнтації вівтаря щодо чотирьох сторін горизонту - божество не прийме принесеної йому жертви »(Кантор).

Поряд з чисто ритуальними приписами, що містяться в так званих Кальпасутрах, існують і твори геометрично-теологічного характеру, так звані Сульвасутри. У цих творах, що відносяться до IV або V векудо н.е., ми зустрічаємося з побудовою прямого кута за допомогою трикутника зі сторонами 15, 36 і 39 (пор. § 7). Кантор описує спосіб побудови наступним чином. У напрямку точно зі сходу на захід відзначають за допомогою кілків відстань в 36 падас (падас - міра довжини), зване «праці». На кілках закріплюють кінці мотузки довжиною в 54 падас з вузлом, заздалегідь зав'язаним на відстані в 15 падас від одного з кінців. Потім мотузку натягують за допомогою кола, протягнути крізь вузол, і отримують на одному з кінців «праці» прямий кут.

Для вилучення квадратного кореня геометричним способом даються такі правила, засновані на теоремі Піфагора:

1. Мотузка, натягнута навскіс по рівностороннього прямокутника, виробляє квадрат, який має подвоєну площу 5) .
2. Мотузка, натягнута навскіс по прямокутнику, виробляє дві площі, які виробляються мотузками, натягнутими уздовж більшої і меншої сторони.

Другий випадок можна перевірити на трикутниках, сторони яких дорівнюють 3 і 4 одиницям довжини, або 12 і 5, або 15 і 8, або 7 і 24, або 12 і 35, або 15 і 36.

Перше правило виражає теорему Піфагора для рівнобедрених прямокутних трикутників. У справедливості її для цього випадку можна безпосередньо переконатися з рис. 5. Друге правило виводиться з креслення, який приблизно відповідає кресленням, з яким ми ще зустрінемося в подальшому. Неважко зрозуміти, що тут дійсно ми маємо справу з витяганням квадратного кореня геометричним способом, так як якщо a і b - сторони прямокутника, то діагональ його (рис. 6) виражається формулою

= √ a ² + b ².

5. У подальшому поширенні математичних знань індуси грали невелику роль, а китайці - і того меншу, і лише в новітній час світ ознайомився з великими математичними знаннями цих народів. Шлях від давнини до середніх століть йшов від греків через арабів.

У середні століття теорема Піфагора, magister matheseos, визначала кордон якщо не найбільших можливих, то принаймні хороших математичних знань. Характерний креслення теореми Піфагора, який нині іноді перетворюється школярами, наприклад, в одягненого в мантію професора (рис. 7, 8) або в чоловічка в циліндрі (рис. 9) і т.п., в ті часи загальної пристрасті до символів нерідко вживався як символ математики. Настільки ж часто ми зустрічаємося з «Пифагором» в середньовічній живопису, мозаїки, геральдиці.

6. На закінчення цієї вступної глави ми наведемо різні формулювання теореми Піфагора грецькою, латинською, німецькою á і російською ñ мовами.

У Евкліда ця теорема свідчить: Εν τοίς όρθογώνοις τριγωνοις τό άπό τής τήν όρθήν γωνίαν ύποτεινούσης πλευρας τετράγωνον ίσον έστι τοίς άπό ιων τήύ όρθήν γωνίαν περιεχουσων πλευρων τετραγώνοις.

У дослівному перекладі це означає: «У прямокутному трикутнику квадрат боку, натягнутою над прямим кутом, дорівнює квадрату на сторонах, що містять прямий кут».

Латинський переклад арабського тексту Аннаіріці (близько 900 р н.е.), зроблений Герхардом кремонських (початок XII століття), говорить: Omnis trianguli orthogonii quadratum factum ex latere subtenso angulo recto equale est coniunctioni duorum quadratorum , qui ftunt ex duobus lateribus, qui continent angulum rectum.

У перекладі: «У всякому прямокутному трикутнику квадрат, утворений на стороні, натягнутою над прямим кутом, дорівнює сумі двох квадратів, утворених на двох сторонах, що містять прямий кут».

У Geometria Culmonensis (близько 1400 г.) теорема читається так: Alzo wirt dab vierkante veld, gemessen vz der lanqen want, alzo qrob alz dy behde vierkante dy do werden gemessen von den czwen wenden deb geren, dy do czufamene treten in dem rechten wynkel .

У перекладі це означає: «Отже, площа квадрата, виміряного по довгій стороні, настільки ж велика, як у двох квадратів, які виміряні по двох сторонах його, що прилягає до прямого кута».

á У першому російською перекладі евклідових «Почав», зробленому з грецького Ф. І. Петрушевским ( «Евклідових почав вісім книг, які містять в собі підставу геометрії», Санкт-Петербург, 1819), теорема Піфагора викладена так: «У прямокутних трикутниках квадрат з боку, протилежній прямого кута, дорівнює сумі квадратів зі сторін, що містять прямий кут ». ñ

[· ·]

Примітки1.

Італійський астроном Скіапареллі відкрив на Марсі канали, які довгий час передбачалися штучними. назад до тексту

2.

М. Кантор - найбільший німецький історик математики. назад до тексту

3.

О. Нейгебауєр - відомій німецький історик математики, спеціаліст з вавілонській математиці; ніні живе и працює в Амеріці. Книга Нейгебауера «Лекції з історії античних математичних наук» (т. I - догреческого математика) переведена на російську мову (М.-Л., ОНТИ, 1937). назад до тексту

4.

Б. Л. Ван-дер-Варден - відомий голландський математик, останнім часом багато займався історією математики. Див. Його книгу «пробуджує наука (математика Стародавнього Єгипту, Вавилона і Греції)», (М., Физматгиз, 1959). назад до тексту

5.

Тобто мотузка, що збігається з діагоналлю квадрата, є стороною квадрата, площа якого в два рази більше площі вихідного квадрата. назад до тексту