WikiZero - Геометрія Лобачевського

  1. Спроби докази п'ятого постулату [ правити | правити код ]
  2. Створення неевклідової геометрії [ правити | правити код ]
  3. Затвердження геометрії Лобачевського [ правити | правити код ]
  4. псевдосфера [ правити | правити код ]
  5. Проективна модель [ правити | правити код ]
  6. Конформно-евклидова модель, модель Пуанкаре [ правити | правити код ]
  7. Модель на Гіперболоїд в просторі Маньківського [ правити | правити код ]
  8. Поверхня постійної негативної кривизни [ правити | правити код ]
  9. Заповнення площини і простору правильними політопа [ правити | правити код ]
  10. Праці основоположників [ правити | правити код ]

open wikipedia design.

геометрія Лобачевського (або гіперболічна геометрія) - одна з неевклідових геометрій , Геометрична теорія, заснована на тих же основних посилках, що і звичайна евклідова геометрія , за винятком аксіоми про паралельні прямі , Яка замінюється її запереченням .

Евклидова аксіома про паралельних (точніше, одне з еквівалентних їй тверджень, при наявності інших аксіом) може бути сформульована таким чином:

В геометрії Лобачевського замість неї приймається наступна аксіома:

Аксіома Лобачевського є точним запереченням аксіоми Евкліда (при виконанні всіх інших аксіом), так як випадок, коли через точку, що не лежить на даній прямій, не проходять жодної прямої, що лежить з даною прямою в одній площині і не перетинає її, виключається в силу інших аксіом (аксіоми абсолютної геометрії ). Так наприклад, сферична геометрія і геометрія Рімана , В яких будь-які дві прямі перетинаються, і отже, не виконано аксіома про паралельних Евкліда, ні аксіома Лобачевського, не сумісні з абсолютною геометрією.

Геометрія Лобачевського має обширні вживання як в математиці, так і в фізиці. Історичне і філософське її значення полягає в тому, що її побудовою Лобачевський показав можливість геометрії, відмінної від евклідової , Що знаменувало нову епоху в розвитку геометрії , Математики та науки взагалі.

Спроби докази п'ятого постулату [ правити | правити код ]

Відправним пунктом геометрії Лобачевського послужив V постулат Евкліда - аксіома, еквівалентна аксіомі про паралельних . Він входив до списку постулатів в «Початки» Евкліда . Відносна складність і неінтуітівнимі його формулювання викликала відчуття його вторинності і породжувала спроби вивести його як теорему з інших постулатів Евкліда.

Серед багатьох намагалися довести п'ятий постулат були, зокрема, такі великі вчені.

  • давньогрецькі математики Птолемей ( II ст. ) і Прокл ( V ст. ) (Грунтувався на припущенні про кінцівки відстані між двома паралельними).
  • Ібн аль-Хайсам з Іраку (кінець X - початок XI ст.) (грунтувався на припущенні, що кінець рухомого перпендикуляра до прямої описує пряму лінію).
  • іранські математики Омар Хайям (2-я половина XI - початок XII ст.) і Насир ад-Дін ат-Тусі ( XIII в. ) (Грунтувалися на припущенні, що дві сходяться прямі не можуть при продовженні стати розбіжними без перетину).
  • Першу в Європі відому нам спробу докази аксіоми паралельності Евкліда запропонував жив в Провансі (Франція) Герсонід (Він же Леві бен Гершем, XIV століття ). Його доказ спиралося на твердження про існування прямокутника [1] .
  • німецький математик Клавіус (Тисячі п'ятсот сімдесят чотири) [2] .
  • італійські математики
  • англійський математик Валліс (1663, опубліковано в 1693) (грунтувався на припущенні, що для будь-якої фігури існує їй подібна, але не рівна фігура).
  • французький математик Лежандр (1800) (грунтувався на припущенні, що через кожну точку всередині гострого кута можна провести пряму, що перетинає обидві сторони кута, і в нього також були інші спроби докази).

При цих спробах докази п'ятого постулату математики вводили (явно або неявно) якийсь новий твердження, що здавалося їм більш очевидним.

Були зроблені спроби використовувати доказ від протилежного:

  • італійський математик Саккери ( 1733 ) (Сформулювавши суперечить постулату твердження, він вивів ряд наслідків і, помилково визнавши частину з них суперечливими, він вважав постулат доведеним),
  • німецький математик Ламберт (близько 1 766 , Опубліковано в тисяча сімсот вісімдесят шість ) ( провівши дослідження , Він визнав, що не зміг виявити в побудованій ним системі протиріччя).

Нарешті, стало виникати розуміння того, що можлива побудова теорії, заснованої на протилежному постулаті:

Створення неевклідової геометрії [ правити | правити код ]

Лобачевський в роботі «Про основи геометрії» ( 1829 ), Першої його друкованої роботі по неевклідової геометрії, ясно заявив, що п'ятий постулат не може бути доведений на основі інших посилок евклідової геометрії, і що припущення постулату, протилежного постулату Евкліда, дозволяє побудувати геометрію настільки ж змістовну і вільну від протиріч, як і евклідового .

Одночасно і незалежно до аналогічних висновків дійшов Янош Бойяи , а Карл Фрідріх Гаус прийшов до таких висновків ще раніше. Однак праці Бойяи залучили уваги, і він незабаром залишив цю тему, а Гаусс взагалі утримувався від публікацій, і про його погляди можна судити лише по декілька листів і щоденникових записів [4] . Наприклад, в листі 1846 року астроному Г. Х. Шумахеру Гаусс так відгукнувся про роботу Лобачевського:

Цей твір містить в собі підстави тієї геометрії, яка повинна була б мати місце і при тому становила б строго послідовне ціле, якби евклідова геометрія не була б справжньою ... Лобачевський називає її «уявною геометрією»; Ви знаєте, що вже 54 роки (з +1792 м) я поділяю ті ж погляди з деяких розвитком їх, про який не хочу тут згадувати; таким чином, я не знайшов для себе в творі Лобачевського нічого фактично нового. Але в розвитку предмета автор слідував не тим шляхом, по якому йшов я сам; воно виконано Лобачевским майстерно в істинно геометричному дусі. Я вважаю себе зобов'язаним звернути Вашу увагу на цей твір, яке, напевно, принесе Вам абсолютно виняткову насолоду. [5]

В результаті Лобачевський виступив як перший найбільш яскравий і послідовний пропагандист нової геометрії. Хоча геометрія Лобачевського розвивалася як умоглядна теорія, і сам Лобачевський називав її «уявною геометрією», проте саме він вперше відкрито запропонував її не як гру розуму, а як можливу і корисну теорію просторових відносин. Однак доказ її несуперечності було дано пізніше, коли були вказані її інтерпретації (моделі).

Затвердження геометрії Лобачевського [ правити | правити код ]

Лобачевський помер в 1856 році . Через кілька років було опубліковано листування Гаусса, в тому числі кілька захоплених відгуків про геометрію Лобачевського, і це привернуло увагу до праць Лобачевського. З'являються переклади їх на французьку та італійську мови, коментарі видатних геометрів. Публікується і праця Бойяи .

В 1868 році виходить стаття Бельтрами про інтерпретації геометрії Лобачевського. Бельтрами визначив метрику площині Лобачевського і довів, що вона має всюди постійну негативну кривизну. [6] Така поверхня тоді вже була відома - це псевдосфера Міндінг . Бельтрами зробив висновок, що локально площину Лобачевського изометрична ділянці псевдосфери (див. Нижче). У цій же статті, Бельтрами також наводить дві моделі, які тепер називаються модель Клейна і модель Пуанкаре .

У цих роботах Бельтрами дав прозоре геометричне доказ несуперечності нової геометрії, точніше того що геометрія Лобачевського суперечлива тоді і тільки тоді коли суперечлива геометрія Евкліда. Лобачевський також мав таким доказом, але воно було складніше, в одну сторону модель евклідової площини в геометрії Лобачевського, воно будувалося за допомогою моделі як і у Бельтрами, [7] в іншу сторону йшло аналітично.

Вейерштрасс присвячує геометрії Лобачевського спеціальний семінар в Берлінському університеті ( 1870 ). Казанське фізико-математичне товариство організовує видання повного зібрання творів Лобачевського, а в 1893 році сторіччя російського математика відзначається в міжнародному масштабі.

Моделі геометрії Лобачевського дали доказ її несуперечності, точніше показали, що геометрія Лобачевського настільки ж несуперечлива, як геометрія Евкліда.

Сам Лобачевський дав основи своєї аналітичної геометрії, і тим самим він вже фактично намітив таку модель. Він також зауважив, що орисфере в просторі Лобачевського изометрична евклідової площини, тим самим фактично запропонував зворотний модель. Проте, саме поняття про модель прояснилося в роботах Бельтрами та інших.

псевдосфера [ правити | правити код ]

італійський математик Е. Бельтрамі в 1868 році помітив, що геометрія на шматку площині Лобачевського збігається з геометрією на поверхнях постійної негативної кривизни, простий приклад яких представляє псевдосфера . Якщо точкам і прямим на кінцевому шматку площині Лобачевського зіставляти точки і найкоротші лінії ( геодезичні ) На псевдосфері і руху в площині Лобачевського зіставляти переміщення фігури по псевдосфері з зігнутися, тобто деформацією, що зберігає довжини, то всякій теоремі геометрії Лобачевського відповідатиме факт, що має місце на псевдосфері. При цьому довжини, кути, площі розуміються в сенсі природного виміру їх на псевдосфері.

Однак тут дається тільки локальна інтерпретація геометрії, тобто на обмеженій ділянці, а не на всій площині Лобачевського.

Проективна модель [ правити | правити код ]

Mодель площині Лобачевського, вперше запропонована Бельтрамі.

Площиною служить внутрішність круга, прямий - хорда кола без решт, а точкою - точка всередині кола. «Рухом» назвемо будь-яке перетворення круга в самого себе, яке переводить хорди в хорди. Відповідно, рівними називаються фігури усередині круга, переводяться одна в іншу такими перетвореннями. Тоді виявляється, що будь-який геометричний факт, описаний на такому мові, представляє теорему або аксіому геометрії Лобачевського. Іншими словами, будь-яке твердження геометрії Лобачевського на площині є не що інше, як твердження евклідової геометрії, що відноситься до фігур усередині круга, лише переказане в зазначених термінах. Евклидова аксіома про паралельних тут явно не виконується, так як через точку P {\ displaystyle P} Площиною служить внутрішність круга, прямий - хорда кола без решт, а точкою - точка всередині кола , Що не лежить на даній хорді а (тобто «прямій»), проходить скільки завгодно що не перетинають її хорд ( «прямих») (наприклад, b {\ displaystyle b} , B '{\ displaystyle b'} ).

У цій моделі відстань між точками A {\ displaystyle A} У цій моделі відстань між точками A {\ displaystyle A} і B {\ displaystyle B} на хорді N M {\ displaystyle NM} визначається через подвійне ставлення і B {\ displaystyle B} на хорді N M {\ displaystyle NM} визначається через подвійне ставлення

ln ⁡ (A N A M B M B N) {\ displaystyle \ ln \ left ({\ frac {AN} {AM}} {\ frac {BM} {BN}} \ right)} ln ⁡ (A N A M B M B N) {\ displaystyle \ ln \ left ({\ frac {AN} {AM}} {\ frac {BM} {BN}} \ right)}

У зовнішній абсолюту, реалізується геометрія простору анти-де Ситтера .

Конформно-евклидова модель, модель Пуанкаре [ правити | правити код ]

Інша модель площині Лобачевського, запропонована Бельтрамі.

За площину Лобачевського приймається внутрішність круга, прямими вважаються дуги кіл, перпендикулярних колу даного круга, і його діаметри, рухами - перетворення, одержувані комбінаціями інверсій щодо кіл, дуги яких служать прямими.

Модель Пуанкаре чудова тим, що в ній кути зображаються звичайними кутами.

Модель на Гіперболоїд в просторі Маньківського [ правити | правити код ]

У просторі сигнатури (+ + -) розглянемо двуполостной гіперболоїд x 2 + y 2 - t 2 = - 1 {\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} -t ^ {2} = - 1} У просторі сигнатури (+ + -) розглянемо двуполостной гіперболоїд x 2 + y 2 - t 2 = - 1 {\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} -t ^ {2} = - 1} . Виберемо верхню з порожнин t> 0. Це модель площину Лобачевського, її «прямі» - це перетину гіперболоїда площинами, що проходять через початок координат.

Ця модель тісно пов'язана з моделлю Келі-Клейна і моделлю Пуанкаре.

Див. також The hyperboloid model .

Поверхня постійної негативної кривизни [ правити | правити код ]

Інша аналітичне визначення геометрії Лобачевського полягає в тому, що геометрія Лобачевського визначається як геометрія ріманова простору постійної негативної кривизни. Це визначення було фактично дано ще в 1854 році Ріманом і включало модель геометрії Лобачевського як геометрії на поверхнях постійної кривизни. Однак Риму не пов'язав прямо своїх побудов з геометрією Лобачевського, а його доповідь, в якому він про них повідомив, не був зрозумілий і був опублікований лише після його смерті (в 1868 році ).

Прикладом такої поверхні є сфера мнимого радіуса

(X →, x →) = - 1 {\ displaystyle ({\ vec {x}}, {\ vec {x}}) = - 1} (X →, x →) = - 1 {\ displaystyle ({\ vec {x}}, {\ vec {x}}) = - 1} , X 2 + y 2 - z 2 = - 1 {\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} -z ^ {2} = - 1} , X 2 + y 2 - z 2 = - 1 {\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} -z ^ {2} = - 1}

в просторі Маньківського . Див. Розділ Модель на Гіперболоїд .

Лобачевський будував свою геометрію, вирушаючи від основних геометричних понять і своєї аксіоми, і доводив теореми геометричним методом, подібно до того, як це робиться в геометрії Евкліда. Основою служила теорія паралельних ліній, так як саме тут починається відміну геометрії Лобачевського від геометрії Евкліда. Всі теореми, не залежні від аксіоми про паралельних, є загальними для обох геометрій; вони утворюють так звану абсолютну геометрію , До якої відносяться, наприклад, ознаки рівності трикутників. Слідом за теорією паралельних будувалися інші розділи, включаючи тригонометрію і початку аналітичної і диференціальної геометрії.

Наведемо (в сучасних позначеннях) кілька фактів геометрії Лобачевського, що відрізняють її від геометрії Евкліда і встановлених самим Лобачевським.

Через точку P, що не лежить на даній прямій R (див. Малюнок), проходить нескінченно багато прямих, що не перетинають R і знаходяться з нею в одній площині; серед них є дві крайні x, y, які і називаються асимптотично паралельними (іноді просто паралельними) прямий R, а решта - ультрапараллельнимі.

Кут θ {\ displaystyle \ theta} Кут θ {\ displaystyle \ theta} між перпендикуляром PB з P на R і кожної з асимптотично паралельних (званий кутом паралельності) в міру віддалення точки P від прямої убуває від 90 ° до 0 ° (в моделі Пуанкаре кути в звичайному сенсі збігаються з кутами в сенсі Лобачевського, і тому на ній цей факт можна бачити безпосередньо) між перпендикуляром PB з P на R і кожної з асимптотично паралельних (званий кутом паралельності) в міру віддалення точки P від прямої убуває від 90 ° до 0 ° (в моделі Пуанкаре кути в звичайному сенсі збігаються з кутами в сенсі Лобачевського, і тому на ній цей факт можна бачити безпосередньо). Паралель x з одного боку (а y з протилежного) асимптотично наближається до а, а з іншого - нескінченно від неї віддаляється (в моделях відстані визначаються складно, і тому цей факт безпосередньо не видно).

Для точки, що знаходиться від заданої прямої на відстані PB = a (див. Малюнок), Лобачевський дав формулу для кута паралельності П (a) [8] :

θ = Π (a) = 2 arctg ⁡ e - a q {\ displaystyle \ theta = \ Pi (a) = 2 \ operatorname {arctg} ~ e ^ {- {\ frac {a} {q}}}} θ = Π (a) = 2 arctg ⁡ e - a q {\ displaystyle \ theta = \ Pi (a) = 2 \ operatorname {arctg} ~ e ^ {- {\ frac {a} {q}}}}

Тут q - деяка постійна, пов'язана з кривизною простору Лобачевського. Вона може служити абсолютної одиницею довжини аналогічно тому, як в сферичної геометрії особливе положення займає радіус сфери.

Якщо прямі мають загальний перпендикуляр, то вони ультрапараллельни, тобто нескінченно розходяться в обидві сторони від нього. До будь-якої з них можна відновити перпендикуляри, які не досягають іншої прямої.

В геометрії Лобачевського не існує подібних, але нерівних трикутників; трикутники рівні, якщо їх кути рівні.

Сума кутів всякого трикутника менше π {\ displaystyle \ pi} Сума кутів всякого трикутника менше π {\ displaystyle \ pi} і може бути як завгодно близькою до нуля (різниця між 180 ° і сумою кутів трикутника ABC в геометрії Лобачевського позитивна - її називають дефектом цього трикутника) і може бути як завгодно близькою до нуля (різниця між 180 ° і сумою кутів трикутника ABC в геометрії Лобачевського позитивна - її називають дефектом цього трикутника). Це безпосередньо видно на моделі Пуанкаре. Різниця δ = π - (α + β + γ) {\ displaystyle \ delta = \ pi - (\ alpha + \ beta + \ gamma)} , Де α {\ displaystyle \ alpha} , Β {\ displaystyle \ beta} , Γ {\ displaystyle \ gamma} - кути трикутника, пропорційна його площі:

S = q 2 ⋅ δ {\ displaystyle S = q ^ {2} \ cdot \ delta} S = q 2 ⋅ δ {\ displaystyle S = q ^ {2} \ cdot \ delta}

З формули видно, що існує максимальна площа трикутника, і це кінцеве число: π q 2 {\ displaystyle \ pi q ^ {2}} З формули видно, що існує максимальна площа трикутника, і це кінцеве число: π q 2 {\ displaystyle \ pi q ^ {2}} .

Лінія рівних відстаней від прямій не є прямий, а особлива крива, звана еквідістантой , Або гіперциклом.

Межа кіл нескінченно зростаючого радіусу не їсти пряма, а особлива крива, звана граничної окружністю, або орициклом .

Межа сфер нескінченно зростаючого радіусу не їсти площину, а особлива поверхня - гранична сфера, або орисфере ; чудово, що на ній має місце евклідова геометрія. Це служило Лобачевському основою для виведення формул тригонометрії.

Довжина кола не пропорційно радіусу, а зростає швидше. Зокрема, в геометрії Лобачевського число π {\ displaystyle \ pi} Довжина кола не пропорційно радіусу, а зростає швидше не може бути визначено як відношення довжини кола до її діаметру.

Чим менше область в просторі або на площині Лобачевського, тим менше геометричні співвідношення в цій області відрізняються від співвідношень евклідової геометрії. Можна сказати, що в нескінченно малої області має місце евклідова геометрія. Наприклад, чим менше трикутник, тим менше сума його кутів відрізняється від π {\ displaystyle \ pi} Чим менше область в просторі або на площині Лобачевського, тим менше геометричні співвідношення в цій області відрізняються від співвідношень евклідової геометрії ; чим менше коло, тим менше відношення її довжини до радіусу відрізняється від 2 π {\ displaystyle 2 \ pi} , І т. П. Зменшення області формально рівносильно збільшенню одиниці довжини, тому при безмежному збільшенні одиниці довжини формули геометрії Лобачевського переходять у формули евклідової геометрії. Евклідова геометрія є в цьому сенсі «граничний» випадок геометрії Лобачевського.

Заповнення площини і простору правильними політопа [ правити | правити код ]

Площина Лобачевського може бути вимощена не тільки правильними трикутниками , квадратами і шестикутниками , А й будь-якими іншими правильними багатокутниками . При цьому в одній вершині паркету має сходитися не менше 7 трикутників, 5 квадратів, 4 п'яти- або шестикутників, або 3 багатокутників з числом сторін більш 6. Тобто число різних замощення нескінченно і за допомогою символу Шлефлі {N, M} {\ displaystyle \ left \ {N, M \ right \}} Площина Лобачевського може бути вимощена не тільки правильними трикутниками , квадратами і шестикутниками , А й будь-якими іншими правильними багатокутниками (в одній вершині сходиться M штук N -угольніков) все замощення площині Лобачевського можна записати так:

  • {3, 7}, {3, 8}, ..., тобто {3, M}, де M ≥7;
  • {4, 5}, {4, 6}, ..., тобто {4, M}, де M ≥5;
  • {5, 4}, {5, 5}, ..., тобто {5, M}, де M ≥4;
  • {6, 4}, {6, 5}, ..., тобто {6, M}, де M ≥4;
  • {N, M}, де N ≥7, M ≥3.

Кожне замощення {N, M} {\ displaystyle \ left \ {N, M \ right \}} Кожне замощення {N, M} {\ displaystyle \ left \ {N, M \ right \}} вимагає строго певного розміру одиничного N -угольніка, зокрема, його площа повинна дорівнювати: вимагає строго певного розміру одиничного N -угольніка, зокрема, його площа повинна дорівнювати:

S {N; M} = q 2 π (N - 2 - 2 NM) {\ displaystyle S _ {\ left \ {N; M \ right \}} = q ^ {2} \ pi \ left (N-2-2 {\ frac {N} {M}} \ right)} S {N; M} = q 2 π (N - 2 - 2 NM) {\ displaystyle S _ {\ left \ {N; M \ right \}} = q ^ {2} \ pi \ left (N-2-2 {\ frac {N} {M}} \ right)}

На Відміну Від Звичайно простору (трівімірного евклідового простору), Пожалуйста можна заповнити правильні багатогранники только одним способом (по 8 кубів в вершіні, або по Чотири в ребрі {4,3,4}), тривимірний простір Лобачевського можна замостити правильними многогранниками , Як і на площині, безліччю способів. с помощью символу Шлефлі {N, M, P} {\ displaystyle \ left \ {N, M, P \ right \}} На Відміну Від Звичайно простору (трівімірного евклідового простору), Пожалуйста можна заповнити правильні багатогранники только одним способом (по 8 кубів в вершіні, або по Чотири в ребрі {4,3,4}), тривимірний простір Лобачевського можна замостити правильними многогранниками , Як і на площині, безліччю способів (в одній вершині сходиться M штук N -угольніков, а в кожному ребрі сходиться по P багатогранників) все замощення можна записати так: [ Джерело не вказано 1 685 днів ]

  • {3,3,6}, {3,3,7}, ..., тобто {3,3, P}, де P ≥6;
  • {4,3,5}, {4,3,6}, ..., тобто {4,3, P}, де P ≥5;
  • {3,4,4}, {3,4,5}, ..., тобто {3,4, P}, де P ≥4;
  • {5,3,4}, {5,3,5}, .... Тобто {5,3, P}, де P ≥4;
  • {3,5,3}, {3,5,4}, ..., тобто {3,5, P}, де P ≥3.

Багатогранники таких розбиття можуть мати нескінченний об'єм, за винятком кінцевого числа розбиття простору на правильні багатогранники з кінцевим об'ємом:

  • {3,5,3} (по три ікосаедра в ребрі)
  • {4,3,5} (по п'ять кубів в ребрі)
  • {5,3,4} (по чотири додекаедру в ребрі)
  • {5,3,5} (по п'ять додекаедрів в ребрі)

Крім цього, існує 11 способів заповнити простір Лобачевського правильними мозаїчними орисфере ({3,4,4}, {3,3,6}, {4,3,6}, {5,3,6}, {4,4, 3}, {6,3,3}, {6,3,4}, {6,3,5}, {6,3,6}, {4,4,4}, {3,6,3} ). [ Джерело не вказано 1 685 днів ]

  • Сам Лобачевський застосовував свою теорію до обчислення певних інтегралів , Інтерпретуючи їх як вираження для довжини, площі або обсягу фігур в його геометрії. [9]
  • У теорії функцій комплексного змінного геометрія Лобачевського допомогла побудувати теорію автоморфних функцій . Зв'язок з геометрією Лобачевського була тут відправним пунктом досліджень Пуанкаре , Який писав, що «неевклидова геометрія є ключ до вирішення всієї завдання». [10] [11]
  • Була встановлена ​​тісний зв'язок геометрії Лобачевського з кінематикою спеціальної (приватної) теорії відносності . Цей зв'язок заснована на тому, що рівність, що виражає закон поширення світла

x 2 + y 2 + z 2 = c 2 t 2 {\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} = c ^ {2} t ^ {2}} x 2 + y 2 + z 2 = c 2 t 2 {\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} = c ^ {2} t ^ {2}} при розподілі на t 2 {\ displaystyle t ^ {2}} , Тобто для швидкості світла, дає vx 2 + vy 2 + vz 2 = c 2 {\ displaystyle v_ {x} ^ {2} + v_ {y} ^ {2} + v_ {z} ^ {2} = c ^ {2}} - рівняння сфери в просторі з координатами vx {\ displaystyle v_ {x}} , Vy {\ displaystyle v_ {y}} , Vz {\ displaystyle v_ {z}} - складовими швидкості по осях х, у, z (у «просторі швидкостей») при розподілі на t 2 {\ displaystyle t ^ {2}} , Тобто для швидкості світла, дає vx 2 + vy 2 + vz 2 = c 2 {\ displaystyle v_ {x} ^ {2} + v_ {y} ^ {2} + v_ {z} ^ {2} = c ^ {2}} - рівняння сфери в просторі з координатами vx {\ displaystyle v_ {x}} , Vy {\ displaystyle v_ {y}} , Vz {\ displaystyle v_ {z}} - складовими швидкості по осях х, у, z (у «просторі швидкостей»). перетворення Лоренца зберігають цю сферу і, так як вони лінійні, переводять прямі простору швидкостей в прямі. Отже, відповідно до моделі Клейна, в просторі швидкостей усередині сфери радіусу з, тобто для швидкостей, менших швидкості світла, має місце геометрія Лобачевського. [10]

Широко поширена помилка (відбите, зокрема, в нематематичні літературі і фольклорі), що в геометрії Лобачевського «паралельні прямі перетинаються» [12] [13] . Це не відповідає дійсності. По-перше, паралельні прямі не можуть перетинатися (ні в одній геометрії) за визначенням паралельності . По-друге, в геометрії Лобачевського якраз можна провести через точку, що не лежить на даній прямій, нескінченно багато прямих, які не перетинаються з нею.

  1. ↑ Розенфельд Б. А. Докази п'ятого постулату Евкліда середньовічних математиків Хасана ібн ал-Хайсама і Льва Герсоніда. - М.: ІМІ, 1958. - Т. XI. - С. 733-742.
  2. ↑ Clavius C. Euclidis Elementorum, libri XV. - Romae, +1574.
  3. ↑ Borelli GA Euclidus Restitutus. - Pisa, 1658.
  4. ↑ Зазвичай кажуть, що він боявся бути незрозумілим. Дійсно, в одному листі, де порушується питання про п'ятому постулаті і неевклідової геометрії, Гаусс пише: «бійтеся крику беотийцев »<...> Можливо, однак, інше пояснення мовчання Гаусса: він один з небагатьох розумів, що, як би багато цікавих теорем неевклідової геометрії не було виведено, це ще нічого не доводить - завжди теоретично залишається можливість, що в якості подальших наслідків буде отримано суперечливе твердження. А може бути, Гаусс розумів (або відчував), що в той час (перша половина XIX ст.) Ще не знайдені математичні поняття, що дозволяють точно поставити і вирішити це питання. // Шафаревич І. Р. , Ремізов А. О. Лінійна алгебра і геометрія, гл. XII, пар. 2, - Фізматліт, Москва 2009.
  5. ↑ Про Підстави геометрії. Збірник класичних робіт по геометрії Лобачевського і розвитку її ідей. М .: Гостехиздат, 1956, С.119-120.
  6. ↑ Eugenio Beltrami, Teoria fondamentale degli spazii di curvatura costante, Annali. di Mat., ser II, 2 (1868), 232-255.
  7. ↑ Lobachevsky, NI, Geometrische Untersuchungen zur Theorie der Parallellinien. Berlin: F. Fincke, 1840; 30
  8. ↑ Колмогоров А. Н., Юшкевич А. П. (ред.) Математика XIX століття. М .: Наука, том II, с. 62.
  9. ↑ Каган В. Ф. Лобачевський. - М.-Л .: Вид-во Академії наук СРСР, 1948. - С. 238-242.
  10. ↑ 1 2 Лобачевського геометрія // Велика Радянська Енциклопедія : [В 30 т.] / Гол. ред. А. М. Прохоров . - 3-е изд. - М .: Радянська енциклопедія, 1969-1978.
  11. ↑ CS Yogananda. Poincaré and the theory of automorphic functions // Resonance. - 2000. - Т. 5, вип. 2. - С. 26-31.
  12. ↑ Паралельні прямі - в міфології, реальності та математики Успенський В. А. Апологія математики, глава 8.
  13. ↑ Відкриття геометрії Лобачевського справила великий вплив на розвиток математики та на осмислення взаємини математики і зовнішнього світу. Обговорення, що виникли в результаті цього, мабуть, вплинули і на погляди багатьох гуманітаріїв. На жаль, тут вони скоріше закріпилися у вигляді художнього образу: протиставлення «земного» - евклідової геометрії і вигаданої вченими-математиками «незрозумілою» - неевклідової. Причому різниця між цими двома геометриями складається нібито в тому, що в першій, всім зрозумілою, паралельні лінії не перетинаються, а в другій, звичайному розуму важко збагненною, вони перетинаються. // Шафаревич І. Р. , Ремізов А. О. Лінійна алгебра і геометрія, гл. XII, стор. 426, - Фізматліт, Москва 2009.

Праці основоположників [ правити | правити код ]

Сучасна література [ правити | правити код ]

  • Александров А. Д., Нецветаев Н. Ю. Геометрія, - Наука, Москва, 1990.
  • Александров П. С. Що таке неевклідова геометрія, - УРСС, Москва, 2007.
  • Делоне Б. Н. Елементарне доказ несуперечності планіметрії Лобачевского, - Гостехиздат, Москва, 1956.
  • Иовлев Н. Н. Введення в елементарну геометрію і тригонометрію Лобачевського . - М.-Л .: Гіз., 1930. - С. 67.
  • Кадомцев С. Б. Геометрія Лобачевського і фізика. - Изд. 3-е. - М.: Книжковий дім «ЛІБРОКОМ», 2009. - 72 с.
  • Кадомцев С. Б., Позняк Е. Г., Попов А. Г. «Геометрія Лобачевського: відкриття і шлях в сучасність» // природа . - 1993. - № 7. - С. 19-27.
  • С. Б. Кадомцев, Е. Г. Позняк, Д. Д. Соколов. Деякі питання геометрії Лобачевського, пов'язані з фізикою . - Підсумки науки і техн. Сер. Пробл. геом., 13, ВІНІТІ, М., 1982, 157-188.
  • Клейн Ф. «Неевклидова геометрія» . - М.-Л .: ОНТИ, 1936. - С. 356.
  • Попов А. Г. Псевдосферіческіе поверхні // Соросівський освітній журнал . - ISSEP, 2004. - Т. 8, № 2. - С. 119-127.
  • А. Г. Попов. Псевдосферіческіе поверхні і деякі задачі математичної фізики .
  • Розенфельд Б. А. Інтерпретації геометрії Лобачевського // Історико-математичні дослідження . - М.: ГІТТЛ, 1956. - № 9. - С. 169-208.
  • Смогоржевський А. С. «Про геометрії Лобачевського» // Популярні лекції з математики . - Гостехиздат, 1958. - Т. 23. - С. 68.
  • Шафаревич І. Р. , Ремізов А. О. Лінійна алгебра і геометрія, - Фізматліт, Москва 2009.