Історія фрактальної геометрії | Математика, яка мені подобається

Будь-яке математичне поняття, яке сьогодні добре відомо школярам, ​​пройшло через десятиліття або навіть століття уточнень. Типова студентка в різний час навчання математиці, незалежно від того, наскільки довго вона її вивчала, зустрічає такі поняття, як розмірність, комплексні числа і геометрія. Якщо математика не дуже її цікавить, ця студентка може вважати ці поняття різними і не пов'язаними між собою, зокрема, вона може помилятися, вважаючи, що евклідова геометрія, якій її вчили в школі, охоплює всі галузі геометрії. Однак якби вона вивчала математику на університетському рівні, вона могла б відкрити для себе цікаву і відносно нову область досліджень, яка пов'язує вищезгадані ідеї, а також і багато інших - фрактальную геометрію.

Хоча левова частка розвитку фрактальної геометрії належить Бенуа Мандельброту, багато математики попереднього століття заклали основу для цієї роботи. Крім того, Мандельброт зобов'язаний багатьма своїми досягненнями можливості використовувати комп'ютерні технології - цього переваги його попередникам явно не вистачало, проте це жодним чином не применшує його фантастичних досягнень. Проте, не дивлячись на визнання і розуміння вкладу Мандельброта, безсумнівно, варто познайомитися з відносяться до цієї теми роботами Карла Вейерштрасса, Георга Кантора, Фелікса Хаусдорфа, Гастона Жуліа, П'єра Фату і Пола Леві. Це допоможе не тільки зробити роботу Мандельброта ясніше, але і побачити її зв'язок з іншими розділами математики . Так само, в той час як більшість авторів включають принаймні коротке обговорення досить цікавою і кілька нетрадиційної (для сучасного математика) життя Мандельброта в свої тексти про фрактали, здається справедливим, щоб розповісти трохи, якщо не стільки ж, про його попередників.

До XIX століття математики мали справу тільки з функціями, які задають гладкі криві. Дійсно, звичайний здоровий глузд підказував, що будь-яка функція, яка може бути задана аналітично (тобто подати у вигляді суми сходиться ряду), безумовно, задає таку криву. Проте 18 липня 1872 Карл Вейерштрасс в Королівській Академії наук Пруссії представив роботу, в якій було показано, що для натурального числа і числа ряд

НЕ диференціюючи. Використовуючи означення похідної як межі, він довів, що відношення приросту функції до приросту аргументу

стає як завгодно великим при збільшенні індексу підсумовування.

Як зауважив Вейерштрасс, Ріман ввів ряд

в якості прикладу недиференційованої аналітичної функції, але не опублікував доказ, і його ніхто не міг повторити. Таким чином, приклад Вейерштрасса є першим строго доведеним прикладом аналітичної, але не диференціюється. Хоча Вейерштрасс, і, зрозуміло, велика частина математичної спільноти того часу уникали використання малюнків, а застосовували символи і дії з ними для доказу своїх результатів, математики більш пізнього часу, такі як Хельге фон Кох і Мандельброт, визнали для себе доцільним представити їх результати в графічному вигляді. Дійсно, коли хтось працює тільки з кривими, майже всюди диференційовними, очевидне запитання, який виникає при виявленні кривої, яка такою не є: "На що це схоже?"

Мал. 1,2

Хоча і те, і інше наближення, можна побачити, що у цих функцій немає гладкості параболи або функцій синус і косинус. Ці функції не піддавалися традиційному аналізу і були - хоча і не через їх виду, який не здатні були представити математиків того часу - названі Чарльзом Ерміта "монстрами", і в значній мірі математичне співтовариство їх ігнорувало.

У 1883 році Георг Кантор, який відвідував лекції Вейерштрасса, перебуваючи на посаді студентом Берлінського університету, поклав початок теорії множин Мандельброта - фрактальної геометрії, ввівши нову функцію, для якої у всіх точках за винятком точок деякого безлічі. Це безліч стало відомо як безліч Кантора.

Мал. 3,4. Графік функції Кантора і безліч Кантора

Функція особлива, монотонна, не постійна, майже всюди. Вона також має властивість

проте

Безліч Кантора має міру Лебега нуль, однак воно також лічильно-нескінченне. Більш того, воно самоподобна - тобто воно складається з декількох частин, які подібні до всього безлічі в цілому. Дивлячись на рис. 4, то зрозуміло, що довжина кожної горизонтальної лінії становить одну третину довжини лінії, розташованої безпосередньо над нею. Насправді самоподоба є особливістю фракталів, і безліч Кантора - це ранній приклад фрактала, хоча самоподоба не було визначено до 1905 р (це зробив Чезаро, який вивчав роботу Хельге фон Коха, про яку розказано нижче), а фрактали були визначено до Мандельброта в 1975 році. Таким чином, Кантор не думав про них свого часу.

У статті, опублікованій в 1904 році, шведський математик Хельге фон Кох побудував, використовуючи геометричні засоби, криву, відому як крива Коха, і в результаті сніжинку Коха - три криві Коха, з'єднані разом. У передмові до своєї роботи він написав про есе Вейерштрасса 1872 року наступне:

"... мені здається, що його [Вейерштрасса] приклад не є задовільним з геометричної точки зору, оскільки функція визначена аналітичним виразом, яке приховує геометричну природу відповідної кривої, і з цієї точки зору не зрозуміло, чому крива не має дотичній. Швидше здається, що її вид насправді суперечить фактичної реальності, встановленої Вейерштрассом чисто аналітичним способом. "

Мал. 5. Сніжинка Коха

Крива Коха, як і безліч Кантора, має властивість самоподібності. Це теж фрактал, хоча, як і Кантор, Кох не думав такими термінами. У нього просто була мета довести іншим способом те, що недиференційованої функції (тобто на геометричній мові функції, які "не мають дотичній") можуть існувати - спосіб, пов'язаний з використанням "елементарної геометрії" (назва його роботи перекладається як "Про безперервної кривої без дотичних, побудованих в елементарній геометрії). Таким чином, Кох висловив зв'язок між недіфференціруемого "монстрами" з аналізу і геометрією.

Сам Кох був досить незначним математиком. Багато з інших його результатів були виведені з результатів Анрі Пуанкаре, від якого він знав, що можливо отримати деяку "патологію", тобто так званих "монстрів", але ніколи не досліджував їх за межами вищезгаданого есе. Слід зазначити, що Пуанкаре займався нелінійної динамікою в кінці XIX століття, що в підсумку призвело до створення теорії хаосу, області, тісно пов'язаної з фрактальної геометрії, хоча і виходить за рамки даної статті. Тому не дивно, що математик, робота якого була природним продовженням робіт Пуанкаре, виявився одним із засновників розділу математики, тісно пов'язаного з тією областю досліджень, закласти основи якої допоміг сам Пуанкаре.

Найголовнішим поняттям в дослідженні фракталів, крім вищезазначених самоподібності і недіфференціруемого, є поняття Гаусдорфів розмірності, введене Ф. Хаусдорфа в березні 1918 року. Результати Хаусдорфа, наведені в тій же роботі, мали важливе значення і в топології. Однак те, що його визначення розмірності розширило попереднє визначення, дозволивши безлічам мати розмірність, що виражається довільним ненульовим числом (на відміну від топологічної розмірності), дало можливість Мандельброту визначити фрактал як "безліч, хаусдорфова розмірність якого строго більше, ніж його топологічна розмірність".

Як тільки Хаусдорф представив це нове, більш широке визначення розмірності, вона стала предметом дослідження - зокрема, Авраама Саміловіча Безиковича, який з 1934 по початок тисяча дев'ятсот тридцять сім написав не менше трьох робіт з посиланнями на роботи Хаусдорфа. На жаль, в цей час Хаусдорф зазнавав труднощів, оскільки він, єврей, жив у нацистській Німеччині. Він був змушений відмовитися від своєї посади професора в університеті Бонна в 1935 році, і хоча він продовжував працювати, займаючись теорією множин і топологією, його праці могли бути опубліковані тільки за межами Німеччини. Незважаючи на те, що на деякий час він зміг уникнути відправки в концентраційний табір, ситуація в Німеччині швидко стала нестерпною, і оскільки він знаходився в безвихідному становищі, то разом зі своєю дружиною і зведеною сестрою вони вирішили покінчити життя самогубством в січні 1942 року.

Розмірність Хаусдорфа самоподібного безлічі пов'язує його з фрактальної геометрії, хоча, як зазначалося раніше, є також багато інших додатків розмірності Хаусдорфа. Нехай є відносини (тобто перша частина безлічі подібна цілому безлічі з коефіцієнтом). Тоді задовольняє наступним двом рівнянням:

і

Цих рівнянь, проте, немає в роботах Хаусдорфа, так як вони мають безпосереднє відношення до фракталам (і обчисленню розмірності фрактала), а ці ідеї були невідомі Хаусдорфу. Проте, з цих двох рівнянь легко побачити, як можна отримати розмірність, яка не є цілим числом, так як

Мал. 6. Безліч Жуліа

Практично в той же час, коли Хаусдорф проводив свої дослідження, два французьких математика, Гастон Жуліа і П'єр Фату, отримали результати (хоча і не разом), які виявилися важливими для фрактальної геометрії. Вони вивчали відображення комплексної площині і рекурсивні функції. Їх робота з рекурсивними функціями привела до ідей аттракторов - точок в просторі, які притягують до себе інші точки, і репеллерамі - точок в просторі, які відштовхують інші точки, як правило, до іншого аттрактору. Ці поняття також важливі в теорії хаосу. Межі різних областей тяжіння виявилася дуже складними, сьогодні вони відомі як безлічі Жуліа, приклад такого безлічі можна побачити на рис. 6. Більш аналітичне визначення безлічі Жуліа для функції має вигляд

при

А саме, "безліч Жуліа є кордоном безлічі точок, які прагнуть до нескінченності при повторних застосуваннях відображення".

Оскільки Фату і Жуліа (і, відповідно, їх роботи) передували появі комп'ютерів, вони не в змозі були отримати малюнки, які наведені тут, що зображують мільйони повторень функції. Вони були обмежені тим, що вони могли зробити вручну, тобто тільки приблизно трьома або чотирма ітераціями. У 1918 році Жуліа опублікував 199-сторінкову роботу під назвою Mémoire sur l'iteration des fonctions rationelles, в якій обговорювалася велика частина його роботи по рекурсивним функціям і наводилося опис безлічі Жуліа. Ця робота Жуліа виграла Гран-прі Академії наук, і він став надзвичайно популярним в математичних колах на протяженіі1920-х. Однак, незважаючи на це визнання, його робота про рекурсії залишалася в безвісності близько п'ятдесяти років.

Фату, з іншого боку, не вдалося досягти рівня популярності Жуліа, навіть у сучасників, незважаючи на отримання дуже близьких результатів - хоча і в інший спосіб - а також їх опублікування. Він відправив свої результати в Comptes Rendus, в той час як Жуліа вирішив послати свою працю в "Journal de Mathématiques Pures et Appliquées". Жуліа, захищаючи свою роботу, направив листи в Comptes Rendus з проханням з'ясувати, чиї результати були отримані першими. Видання належним чином почало розслідування і врахувало те, що результати Жуліа з'явилися в тому ж номері, що і оголошення Фату. Це, можливо, відбило бажання у Фату боротися за Гран-прі. Проте, Академія наук визнала його і присудила йому премію за роботу по даній темі.

Безлічі Жуліа можуть бути зовсім не зв'язковими, і в цьому випадку вони називаються "пилом" (рис. 7) - за аналогією з безліччю Кантора (рис. 4) - або вони повністю зв'язкові (рис. 6). У рідкісних випадках вони можуть бути деревоподібними (рис. 8), де вони "складаються з безперервних гілок, які погано пов'язані, так що видалення з них будь-якої точки розділить їх на дві частини", тоді вони будуть вважатися "пилом".

Мал. 7, 8. незв'язні безліч Жуліа і деревоподібна безліч Жуліа

Метод для визначення того, є безліч зв'язковим чи ні, полягає в обчисленні траєкторії початковою точкою. Траєкторією початкової точки є послідовність

де для кожного маємо

Якщо ця послідовність йде на нескінченність, то безліч недоладно. В іншому випадку воно зв'язно.

У 1938 році, роком пізніше останньої роботи Безиковича про розмірності Хаусдорфа, Поль Леві справив складне дослідження властивості самоподібності. Він показав, що крива Коха була лише одним з багатьох прикладів самоподібних кривих, хоча сам Кох стверджував, що його крива може бути узагальнена. Криві, сконструйовані Леві (див., Наприклад, рис. 9 - зелене і синє безлічі утворюють дві менші копії всієї множини) були рекурсивними і зв'язковими, і при досить великій кількості ітерацій покривали всю площину. Криві Леві, однак, не є фракталами, так як обидві їх розмірності - Хаусдорфа і топологічна - дорівнюють двом.

Мал. 9. самоподобна крива Леві

Навряд чи хто-небудь в цей час підозрює, що знайдеться хтось, хоча б навіть ще дуже молода людина, яка об'єднає роботи Леві і Хаусдорфа. Бенуа Мандельброт народився в 1924 році у Варшаві, в Польщі, і, як і Хаусдорф, він був євреєм, хоча його сім'ї вдалося уникнути життя в Третьому рейху, оскільки вона в 1936 році переїхала з Польщі до Франції, де родичі і друзі допомогли їм облаштуватися . Один з дядьком Мандельброта, Шолем Мандельброта, був чистий математик, який зацікавився молодим Мандельброт і спробував захопити його математикою. Так, в 1945 році, Мандельброта показав племінникові роботи Фату і Жюліа, хоча молодий Мандельброт спочатку не виявив до них великого інтересу.

Освіта Мандельброта було дуже безсистемним, і повністю завершилося в 1940 році, коли Мандельброт і його сім'я були змушені знову бігти від нацистів. На цей раз вони вирушили в центральну Францію. Мандельброт, як і Хельге фон Кох до нього, вважав за краще зорове уявлення математичних задач символьному, хоча це також може бути наслідком відсутності формальної освіти через Другої світової війни. На жаль, це призвело його до прямого конфлікту з навчальним стилем "Бурбак", групи математиків, чия віра в аналітичне рішення задач (на відміну від візуального) домінувала в викладанні математики у Франції в той час.

Після закінчення війни Мандельброт, незважаючи на відсутність підготовки, здав вступні іспити в Політехнічну школу (École Polytechnique) в Парижі. Він був дуже хороший в тій частині математики, де для відповідей на питання міг використовувати свої здібності для вирішення завдань за допомогою візуалізації. Хоча цей метод не завжди було можливо застосовувати в інших розділах математики, йому вдалося вступити. Після одного дня навчання в Нормальною школі (École Normale), Мандельброт почав вчитися в Політехнічній школі, де він зустрів іншого свого наставника, Пола Леві, який був в ній професором з 1920 року аж до своєї відставки в 1959 році.

Після закінчення навчання Мандельброт переїхав в Нью-Йорк, де почав працювати для IBM, в дослідницькому центру Томаса Дж. Уотсона. Компанія дала йому свободу у виборі теми дослідження, що дозволило йому вивчати і розробляти ідеї своїми власними методами, не турбуючись про реакцію наукового співтовариства. У 1967 році, працюючи там, Мандельброт написав свій знаменитий твір "Яка довжина узбережжя Англії?" За допомогою статистичного самоподібності і дробової розмірності він прив'язав ідеї попередніх математиків до реального світу, а саме береговим лініях, які, за його твердженням, були "статистично самоподібними ". Він наводив аргументи:

"Методи самоподібності є потужним інструментом у вивченні випадкових явищ, в тому числі геостатікі, а також економіки і фізики. Справді, багато перешкоди мають розмірність, укладену між і ... "

Після цього есе Мандельброт повернувся до робіт Жуліа і Фату, використовуючи комп'ютери. Маючи можливість бачити в перший раз, як виглядають в межі ці безлічі, Мандельброт прийшов до ідеї відображення значень, для яких безліч Жюліа функції зв'язно. Так будується безліч Мандельброта (рис. 10), яке більш формально позначається як

конечна при

Безліч Мандельброта є для багатьох найістотнішим фракталом. Якщо збільшити будь-яку частину його межі, можна помітити, що безліч Мандельброта дійсно самоподобна. Крім того, якщо на різних ділянках кордону збільшувати масштаб ще більше, то вийдуть різні безлічі Жуліа. Дійсно, воно "асимптотично подібно безлічам Жюліа поблизу будь-якої точки на його кордоні", як доведено в теоремі китайського математика Тан Лея.

Мал. 10. Безліч Мандельброта

Мандельброту вдалося не тільки придумати таку дисципліну як фрактальна геометрія, а й популяризувати її за допомогою застосування в інших областях науки. Він чітко розумів, що це було важливо, як він одного разу сказав:

"Рідкісних вчені, які випадковим чином змінюють сферу діяльності, мають важливе значення для інтелектуального благополуччя певних дисциплін".

Як він натякнув в роботі "Яка довжина узбережжя Англії?", Фрактальна геометрія корисна для подання природних явищ; такі речі, як берегова лінія, силует дерева або форма сніжинки - нелегко уявити з допомогою традиційної геометрії Евкліда. Зрештою, при спогляданні квадрата або круга на розум приходить не органічна цілісність. Так само, коли розглядають, наприклад, русло річки, в голову не приходить жодна проста форма геометрії Евкліда. Навіть земля не ідеальний куля, однак за певних розрахунках вважати її такою буває зручно. Крім того, фрактальна геометрія і теорія хаосу мають важливі зв'язки з фізикою, медициною і дослідженням динаміки популяцій. Однак, навіть які мають схильність до області, в якій таких зв'язків мало, було б важко заперечувати естетичну красу більшості фракталів.

Нетрадиційний підхід Мандельброта привів його до винаходу дивовижною і корисною нова форма математики. Однак жоден математик не може сказати, що його результати абсолютно не пов'язані з іншими роботами. Відкриття Мандельброта багатьом зобов'язана математикам, які йому передували, наприклад, Вейерштрасу і фон Коху, але особливо Жуліа, Фату і Хаусдорфу. Він також виграв завдяки комп'ютерам, які дозволили не тільки спиратися на роботи інших по-новому - так, як це безумовно не робилося раніше - але і використовувати кращий для нього спосіб вирішення завдань - а саме візуалізацію. Крім того, його винахід також обґрунтовує важливість вивчення чистої математики: до Мандельброта були окремі і спільні розрізнені ідеї Хаусдорфа, Жуліа і ін. Вони представляли собою дуже абстрактні математичні ідеї з різних областей (чистої) математики. Дуже мало в теорії множин такого, що представляє інтерес для звичайного біолога. Однак у фрактальної геометрії багато з цих, здавалося б, абстрактних ідей (ідей математиків, які щодо невідомі за межами їх власної галузі досліджень) беруть участь в додатках, які можуть оцінити інші вчені і не тільки вчені. Таким чином, роботи, які в кінцевому результаті привели до фракталам і їх додатків, є відмінним контрприкладом на аргументи тих, хто наважиться очорнити дослідження чистої математики.

Holly Trochet, A History of Fractal Geometry. переклад статті http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/HistTopics/fractals.html