Велика теорема Ферма

Автор Андрій Клешнёв На читання 6 хв. Переглядів 1.1k.

На відміну від інших наук, математика, як представниця чистого розуму, розвивається поступально, незалежно від захоплень людства на тому чи іншому історичному проміжку часу, від революцій і катаклізмів суспільства. Іноді математики люблять ставити проблемні питання, на вирішення яких йдуть століття. Теорема є якесь математичне твердження, правильність якого вимагає побудови логічного ланцюжка доказів, заснованої на використанні законів формальної логіки з залученням аксіом - істин, які приймаються як само собою зрозуміле, очевидне і доказів не потребує. Особливої ​​уваги заслуговують теореми, докази яких викликають сумнів або відсутні. Таке буває у незаперечних авторитетів. Ландау, наприклад, на лекції з теоретичної фізики в поспіху міг пропустити ланка логічного ланцюжка «як очевидне», тоді як іншим теоретикам «очевидне» могло не даватися багато років, викликаючи в голові ступор.

Юрист за фахом і математик по захопленню (в наш час у юристів подібні захоплення - нонсенс) П'єр Ферма (1601-1665) в листі одному, написаному в 1636 році, висунув цікаве твердження з теорії чисел, згодом отримало назву Великої теореми Ферма. На полях він залишив наступне супровід: «Я маю дивовижним доказом, але воно занадто велике для розміщення на полях». Тобто великий вчений прямо заявив, що довів свою теорему.

Нащадкам довелося 360 років розбиратися з тим, чи дійсно Ферма довів, або просто збрехав. Благо ще вдалося б показати, що теорема невірна, знайти один єдиний спростовує приклад, але, незважаючи на всі зусилля, зробити цього не вдавалося. І формулювання то простіше нікуди: рівняння Xn + Yn = Zn не має цілочисельних рішень при n> 2. При n = 2 ця теорема (так звана теорема Піфагора, запропонована ненависником бобів більше двох тисячоліть тому) має безліч рішень.
Історія доказів Великої теореми трагічна і сповнена драматизму. Складається враження, ніби єхидний Ферма кинув виклик нащадкам (відкрив ящик Пандори), а коли мова йде про справу честі, можна уявити, як болісно переживали математики-професіонали подібну «легковажність» в наступні століття. Можна без перебільшення сказати, що у математиків почався масовий психоз: «чому я не можу довести те, що довів Ферма чорт знає в які примітивні часи?» Захоплення перетворювалося в ціль і сенс життя. Деякі в буквальному сенсі свихнулись на цьому.

Перед теоремою пасували навіть такі гіганти думки, як Гаусс, Леонард Ейлер, який довів теорему для n = 3 і 4, Лежандра (n = 5), Діріхле (n = 6) ...

Після того, як в 1907 році заможний німецький любитель математики, на зразок Нобеля, заповідав 100 тисяч марок тому, хто доведе Велику теорему, і зовсім почався масовий ажіотаж. Вискочок без освіти презирливо називали ферматістов, а говорити про теорему Ферма в вищому математичному світі стало ознакою поганого тону, ніби як нецензурно вилаятися. Однак в тиші кабінетів і великі прикладалися до «забороненого зілля». Мало-помалу з'явилися докази для ступеня n <100, n <619 ... все неймовірно складні і довгі. У ці смутні часи в Японії жив математик Ютака Таніяма. Коли йому виповнилося 28 років, він висунув гіпотезу (згодом отримала назву гіпотези Таніяма-Шимура-Вейла), що кожної еліптичної кривої відповідає певна модулярная форма. Гіпотеза, здавалося, не має відношення до теорії чисел, вона з'єднувала поняття двовимірних і чотиривимірних форм: рівняння двох абсолютно різних математичних об'єктів можна розкласти в однакові математичні ряди.

Після виступу Таніяма на міжнародному математичному конгресі, що відбувся в Токіо в1955 році, і доведення відповідності кількох еліптичних кривих модулярним формам, багато хто побачив в цьому не більше ніж цікавий збіг. Через три роки Таніяма покінчив життя самогубством, і про гіпотезу забули.

А в 1985 році відбулася революція - німець Герхард Фрей опублікував наступну заяву: «Якщо довести гіпотезу Таніяма, тим самим буде доведена і Велика теорема Ферма». Заява Фрея через рік вдалося строго довести професору каліфорнійського університету Ріббету. Оскільки, однак, у математиків вже склалася алергія на теорему Ферма, возитися з підтвердженням гіпотези Таніяма, з якої випливає вірність теореми Ферма, з міркувань складності не хотілося. Чим гіпотеза Таніяма повинна бути простіше теореми Ферма?

Потік геніїв, однак, не зупинити. Як справжній учений, англійський професор математики Ендрю Уайлс, знаючи історію, не тішився результативністю своїх досліджень в області докази гіпотези Таніяма. Пізніше він зізнався, що роботу над Великою теоремою приховував навіть від дружини. І все-таки 23 червня 1993 року його набрався хоробрості, надів на голову петлю і на математичній конференції з теорії чисел в Кембриджі гучно оголосив про досягнення мети.

Такого нахабства ніхто з присутніх не очікував від не надто відомого математика. Негайно підключилася преса. Відбулася публічна доказ теореми Таніяма, а отже і теореми Ферма. Помилок ніхто не виявив. Отже, масштабна подія сталася: Велика теорема доведена. Але, за законом підлості, за два дні до публікації, хитрий колега Уайлса Кац, зауважив, що «один фрагмент міркувань спирається на систему Ейлера, насправді такою не будучи». Це була катастрофа. Бідний Вайлс зрозумів, що програв, і йому залишалося або повіситися, щоб не залишитися назавжди осміяним нащадками, або кинути заняття математикою, змінити ім'я, зробити пластичну операцію і виїхати на край землі, де математичні проблеми людям, як то кажуть, по барабану. Вайлс впав у депресію: як дивитися колегам в очі? Він відмовлявся від їжі і здоров'я його погіршувалося.

Але у вересні 1994 року, розмірковуючи над вузьким місцем доказу Уайлса, його колега Тейлор з Оксфорда несподівано виявив, що якщо замінити систему Ейлера на теорію Івасава, то все зійдеться. Близько року математики вивчали несуперечливість докази Уайлса з зауваженням Тейлора, і влітку 1995 року в провідному математичному журналі «Аннали математики» було опубліковано доказ гіпотези Таніяма, що зайняло цілий номер. Отже, в 1995 році світ визнав, що Ендрю Уайлс довів Велику теорему Ферма.

Вайлс виявився тим щасливчиком, якому вдалося нанести останній нокаутуючий удар по проблемі. Але не слід забувати, що за ним стоять всі великі математики попередніх століть. Якщо комусь здасться незначність цієї події, досить згадати, що математика стоїть в авангарді всіх наукових досягнень, а рішення здавалося б «легковажною завдання» породжує цілі напрямки в розвитку математики. Леонардо да Вінчі одного разу зауважив, що «наукою можна назвати тільки математично підтверджене вчення».

Так все-таки довів Ферма свою теорему, або це була гіпотеза? Можливо, йому здалося, що довів, але насправді помилився. Свідомо збрехав, захоплений красою відкриття? І цього виключити не можна. Все ж більшість математиків схиляються до думки, що за часів Ферма не можна було придумати альтернативне доказ, як можна в епоху диліжансів і лицарських турнірів винайти атомну бомбу.

Ферма не довів, але геніально вгадав!

З точки зору моралі, з цієї дуже повчальною історії слід хоча б той маленький висновок, що, слухаючи полум'яної риториці провідних авторитетів у своїй області, кожен має право засумніватися в справедливості солодкомовних слів говорить.

Математик і чорт

Математик і диявол б'ються об заклад - він зобов'язаний або відповісти на питання "Чи правильна Велика теорема Ферма?" І забрати душу математика, або заплатити гроші. Режисер використовує цей сюжет як привід розповісти про теорему Ферма і історії її докази. (У 1972 році, коли знімався фільм, теорема Ферма ще не була доведена.)