Відсотки прості і складні. Уроки арифметики в класичній літературі

Іуда Головльов. Ілюстрація до роману М. Є. Салтикова-Щедріна «Пани Головльови». Художники Кукринікси. 1939 рік.

Асигнації використовувалися в Росії як засіб платежу з 1768 по 1849 рік. В процесі грошової реформи 1839-1843годов було розпочато їх обмін на державні кредитні квитки, обменивавшиеся на золото і срібло.

Гобсек. Ілюстрація до новели Оноре де Бальзака «Гобсек». Художник Шарль Тамізье (народився в 1813 році, дата смерті невідома).

«Лихварі». Художник Квентін Массейс (1466-1530).

Як бачимо, надовго брати гроші в борг краще під прості відсотки - повертати доведеться менше.

Наука і життя // Ілюстрації

Стара процентщица з роману Ф. М. Достоєвського «Злочин і кара». Художник Д. Шмаринов (1907-1999).

<

>

Чи знаєте ви, що багато відомих літературні герої були непоганими фінансистами? Одним персонажам доводилося самим виробляти грошові розрахунки, пов'язані з купівлею або продажем товару, іншим - з поділом прибутку і т.п. Але особливо часто вони чомусь вирішували завдання «на відсотки», які нітрохи не втратили своєї актуальності.

ЗАВДАННЯ Іуда Головльов

У романі М. Е. Салтикова-Щедріна «Пани Головльови» в одній зі сцен читаємо: «Сьомий годину вечора. Порфирій Владімірич ... сидить у себе в кабінеті, списуючи числових викладками аркуші паперу. На цей раз його займає питання: скільки було б у нього тепер грошей, якщо б матінка Аріна Петрівна подаровані йому при народженні дідусем Петром Івановичем, на зубок, сто карбованців асигнаціями не привласнила собі, а поклала б внеском в ломбард на ім'я малолітньої Порфирія? Виходить, однак, небагато: всього вісімсот карбованців асигнаціями. "Покладемо, що капітал і невеликий, - праздномисліт Іуда, - а все-таки добре, коли знаєш, що про чорний день є ... Ах, матінко! матінка! і як це ви, друже мій, так, стрімголов, діяли! "»

Так бідкався Іуда Головльов про бракує йому гроші. Але якщо Иудушку хвилювало можливий дохід, то нам цікаво знати, виходячи з якого відсотка робився розрахунок? Інакше кажучи, під який відсоток річних треба було матінці Аріні Петрівні покласти сторублёвий внесок, щоб через n років він збільшився у вісім разів? (Для визначеності будемо вважати, що Порфирія Володимировичу 50 років.)

Для початку розберемося, про які саме відсотках йде мова?

Як відомо, в залежності від способу нарахування відсотки бувають двох видів: прості і складні. Нагадаємо, в чому головна відмінність між ними. Всякий раз після закінчення встановленого терміну зберігання (наприклад, одного року) прості відсотки нараховуються лише на вихідну суму, а складні - на нарощений капітал, тобто не тільки на основну суму, але і на належні з неї відсотки за попередні періоди часу.

Як же проводяться розрахунки? Якщо a - сума вкладу, p - фіксований відсоток річних, an - сума вкладу через n років, то при нарахуванні простих відсотків користуються формулою an = a (1 + 0,01pn), а при нарахуванні складних - формулою an = a (1 + 0,01p) n. Кожне співвідношення пов'язує між собою чотири величини, будь-яку з яких можна знайти, якщо відомі три інші.

На вклади з тривалими термінами зберігання банки зазвичай встановлюють складні відсотки. Ось і ломбард, взявши на зберігання гроші (а за часів описаних в романі подій він виконував цю функцію банку), повинен був нараховувати на них складні відсотки. Отже, згідно з умовою завдання a = 100 рублів, n = 50 і a50 = 800 рублів. Відсоток річних знайдемо з рівняння 100 × (1 + 0,01p) 50 = 800. Отримаємо p ≈ 4,25%. Прямо скажемо, не так вже й багато, навіть за нинішніми мірками!

ІСТОРІЯ стряпчими Дервілем

Куди більші відсотки завжди брали за кредит. І не тільки банки. Чималі стану наживали лихварі, позичаючи гроші іншим. Згадаймо новелу Оноре де Бальзака «Гобсек». Одному з її героїв, стряпчому Дервілю, одного разу довелося просити у старого-лихваря чималу суму, щоб викупити справу у свого розорився патрона. «Якби ви погодилися позичити мені сто п'ятдесят тисяч (франків. - Прим. Авт.), Необхідних для покупки контори, я в десять років розплатився б з вами», - звернувся він до Гобсека. «Ну що ж, давайте торгуватися, - сказав той. - Я беру за кредит по-різному, найменше - п'ятдесят відсотків, сто, двісті, а коли і п'ятсот. Ну, а з вас по знайомству я візьму тільки дванадцять з половиною відсотків ... Ні, не так, - з вас я візьму тринадцять відсотків на рік ». Але потім передумав і, пообіцявши постачати Дервиля клієнтурою, додав: «Мабуть, треба б взяти з вас п'ятнадцять відсотків річних ... Понад відсотків ви будете безкоштовно, поки я живий, вести мої справи. Добре? »На те і домовилися.

У книзі не уточнюється, про які саме відсотках йшлося. Однак, знаючи характер старого скнари і з огляду на термін договору, можна припустити, що про складні. Неважко підрахувати, яку суму повинен був виплатити лихваря Дервіль, взявши в борг 150 тисяч франків терміном на 10 років під 15% річних, якби виплачував складні відсотки від вихідної суми:

a10 = 150 000 × (1 + 0,01 × 15) 10 ≈ 606 834 франка, що в чотири рази більше самого кредиту!

Для порівняння обчислимо, яку суму потрібно було повернути в разі, якби розрахунки велись за формулою простих відсотків:

А10 = 150 000 × (1 + 0,01 × 15 × 10) = 375 000 франків.

Різниця досить відчутна: понад 230 тисяч франків.

обґрунтований вибір

Як бачимо, надовго брати гроші в борг краще під прості відсотки - повертати доведеться менше. А ось позичати їх комусь чи віддавати заощадження на зберігання в банк, та ще на тривалий термін, вигідніше тоді, коли при інших рівних умовах розрахунок ведеться за формулою складних відсотків.

Щоб зрозуміти, чому це так, досить порівняти значення виразів (1 + 0,01pn) і (1 + 0,01p) n. При фіксованому відсотку річних p зі збільшенням терміну вкладу (кредиту), тобто числа n, значення другого виразу росте швидше, ніж першого (як відомо, показова функція y = (1 + 0,01p) x при x> 1 зростає швидше лінійної y = 0,01px + 1). І чим більше n, тим помітніше різниця їх значень. Це наочно ілюструють результати обчислень, зведені в таблицю (розрахунки зроблено для p = 10, значення 1,1n округлені до сотих), і побудовані на їх основі графіки залежності an від n.

Отже, складні відсотки принесуть власникові капіталу більший дохід, ніж прості, причому цей дохід буде істотно залежати від термінів вкладу (виданого кредиту), не кажучи вже про відсоток річних. Випадок з лихварем служить тому яскравим підтвердженням: позичивши Дервілю гроші за малий (за мірками самого Гобсека) відсоток, через десять років він повинен був отримати назад вчетверо більшу суму. Для порівняння можете підрахувати, скільки заробив би старий, признач він звичну мінімальну ставку - 50% річних.

ВИГІДНА УГОДА

А ось ще один хрестоматійний приклад грошових розрахунків. Олена Іванівна, стара лихварки з роману Ф. М. Достоєвського «Злочин і кара», пропонувала Раскольникову гроші під заставу на вельми вигідних для себе умовах: «Ось-с, батюшка: коли по гривні на місяць з рубля, так за півтора рубля ( в які оцінений заклад. - Прим. авт.) прічтётся з вас п'ятнадцять копійок, за місяць вперед-с. Так за два колишніх рубля (за старий заклад. - Прим. Авт.) З вас ще належить йому за цим рахунком вперед двадцять копійок. А всього, стало бути, тридцять п'ять. Доводиться ж вам тепер за все отримати за годинник ваші рубль п'ятнадцять копійок ».

Стара позичала гроші на місяць під 10%, які вимагала вперед. Ясно також, що з кожної суми вона брала прості відсотки. Цікаво, прогадала чи Олена Іванівна? Це як подивитися. Гроші-то вона давала на короткий термін, та й сама угода передбачалася «одноразової». Можна вважати n = 1 (в такому випадку термін виплати, взагалі кажучи, може бути будь-яким, розрахунок відсотків здійснюється лише раз), тоді і прості відсотки, і складні нараховуються однаково: початкова сума a збільшується на величину 0,01 pa. До того ж, якщо гроші не поверталися вчасно, стара брала з боржника відсотки повторно. Так що в збитку вона точно не залишалася.

Воно й зрозуміло: при наявності щомісячного прибутку (і чималої, треба зауважити!) Користуватися при розрахунках простими відсотками кредитору не тільки зручно, але й дуже вигідно, чого не скажеш про позичальника. Додамо, що прості відсотки і сьогодні використовуються, як правило, при короткострокових фінансових операціях (до року). Але банку це вигідно, а клієнту, скажімо того ж вкладникові, не завжди. Якщо він довго не буде знімати гроші з рахунку, банк буде користуватися сумою відсотків безкоштовно, продовжуючи нараховувати гроші лише на початковий капітал.

Ось така хитра арифметика виходить!